Линейная алгебра. Постникова Л.С - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

6
III. Если r < n, то система (1) имеет множество решений.
IV. Если
R
A
R
C() ()
≠
, то система несовместна, т.е. не имеет решений.
12. Следствие 1. (для однородной системы)
I.
Однородная система всегда совместна.
II. Если r = n, то система имеет единственное нулевое решение.
III. Если r < n, то система имеет множество решений.
13. Решение системы (1) матричным способом.
а) Система (1) записывается в виде матричного уравнения
A
X
B
=
, где Aa
i
k
();
X
x
x
x
n
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
1
2
.
.
- матрица - столбец. B
b
b
b
inkn
n
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
==
1
2
12 12
.
.
,,,...,.,,...,
б) решение системы запишется в виде матричного уравнения X
A
B
=
−
1
, где
A
−1
- обратная матрица для матрицы А.
A
A
A
ki
−
=
1
1
()
, где ()A
ki
- матрица,
составленная из алгебраических дополнений для элементов матрицы
A
T
.
14. Решение системы (1) по формулам Крамера.
Решения системы имеют вид , где Δ- определитель матрицы А; Δ
Xi
- определи-
тель, полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов.
x
x
x
x
x
x
n
n
1
1
2
2
== =
Δ
Δ
Δ
Δ
; ,...,
- формулы Крамера.
15.
ax ax ax
ax ax ax
ax ax ax
nn
nn
mm mnn
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
11 2 2
0
0
0
++
+
=
+++=
+++=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
...
...
.
...
. . . . . . . . . .
(2), m < n
R(A) = r, r ≤ m, k = n - r - число свободных неизвестных.
Систему (2) записать в виде 
                                                  6


III. Если r < n, то система (1) имеет множество решений.
IV. Если R( A) ≠ R(C ) , то система несовместна, т.е. не имеет решений.
        12. Следствие 1. (для однородной системы)
I. Однородная система всегда совместна.
II. Если r = n, то система имеет единственное нулевое решение.
III. Если r < n, то система имеет множество решений.
        13. Решение системы (1) матричным способом.
а) Система (1) записывается в виде матричного уравнения AX = B , где A(aik ) ;

    ⎛ x1 ⎞                                 ⎛ b1 ⎞
    ⎜ ⎟                                    ⎜ ⎟
    ⎜ x2 ⎟                                 ⎜ b2 ⎟
X = ⎜ . ⎟ - матрица - столбец.         B = ⎜ . ⎟ , i = 1,2,..., n. k = 1,2,..., n
    ⎜ ⎟                                    ⎜ ⎟
    ⎜ .⎟                                   ⎜ .⎟
    ⎜ ⎟                                    ⎜ ⎟
    ⎝ xn ⎠                                 ⎝ bn ⎠

б) решение системы запишется в виде матричного уравнения X = A−1B , где
                                                              1
A−1 - обратная матрица для матрицы А. A−1 =                     ( A ) , где ( Aki ) - матрица,
                                                             ΔA ki

составленная из алгебраических дополнений для элементов матрицы AT .
        14. Решение системы (1) по формулам Крамера.
Решения системы имеют вид , где Δ- определитель матрицы А; ΔXi - определи-
тель, полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов.
        Δx1       Δx           Δx
 x1 =       ; x2 = 2 ,..., xn = n - формулы Крамера.
         Δ         Δ            Δ
              ⎧a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = 0
              ⎪a x + a x +...+ a x = 0
              ⎪ 21 1 22 2            2n n
        15.   ⎨                                       (2),   m

Страницы