Линейная алгебра. Постникова Л.С - 6 стр.

                                                  6


III. Если r < n, то система (1) имеет множество решений.
IV. Если R( A) ≠ R(C ) , то система несовместна, т.е. не имеет решений.
        12. Следствие 1. (для однородной системы)
I. Однородная система всегда совместна.
II. Если r = n, то система имеет единственное нулевое решение.
III. Если r < n, то система имеет множество решений.
        13. Решение системы (1) матричным способом.
а) Система (1) записывается в виде матричного уравнения AX = B , где A(aik ) ;

    ⎛ x1 ⎞                                 ⎛ b1 ⎞
    ⎜ ⎟                                    ⎜ ⎟
    ⎜ x2 ⎟                                 ⎜ b2 ⎟
X = ⎜ . ⎟ - матрица - столбец.         B = ⎜ . ⎟ , i = 1,2,..., n. k = 1,2,..., n
    ⎜ ⎟                                    ⎜ ⎟
    ⎜ .⎟                                   ⎜ .⎟
    ⎜ ⎟                                    ⎜ ⎟
    ⎝ xn ⎠                                 ⎝ bn ⎠

б) решение системы запишется в виде матричного уравнения X = A−1B , где
                                                              1
A−1 - обратная матрица для матрицы А. A−1 =                     ( A ) , где ( Aki ) - матрица,
                                                             ΔA ki

составленная из алгебраических дополнений для элементов матрицы AT .
        14. Решение системы (1) по формулам Крамера.
Решения системы имеют вид , где Δ- определитель матрицы А; ΔXi - определи-
тель, полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов.
        Δx1       Δx           Δx
 x1 =       ; x2 = 2 ,..., xn = n - формулы Крамера.
         Δ         Δ            Δ
              ⎧a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = 0
              ⎪a x + a x +...+ a x = 0
              ⎪ 21 1 22 2            2n n
        15.   ⎨                                       (2),   m