Линейная алгебра. Постникова Л.С - 8 стр.

UptoLike

Рубрика: 

8
20. Число базисных векторов определяет размерность векторного про-
странства.
21. Каждый вектор х линейного n - мерного пространства R можно пред-
ставить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации век-
торов базиса. Например,
ll l
n12
,,..., - базис. Xl l l
nn
=
+
+
α
α
α
11 2 2
...
22. Пусть в пространстве R
n
имеются два базиса ll l
n12
,,..., и
ll l
n12
, ,..., .
Пусть первый называется старым базисом, второй - новым. Каждый из элемен-
тов нового базиса можно линейно выразить через векторы старого базиса:
lalal al
lalal al
lalal al
nn
nn
nn n nnn
1111212 1
2121222 2
11 2 2
=+++
=+++
=+++
...
...
...
. . . . . . .
(1)
Можно сказать, что новые координатные векторы получаются из старых с
помощью матрицы
A
aa a
aa a
aa a
n
n
nn nn
=
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
Матрица А называется матрицей перехода от базиса
ll l
n12
,,...,
к базису
′′
ll l
n12
, ,..., . Определитель матрицы А не равен нулю, т.к. в противном случае
ее столбцы, а следовательно, и векторы
ll l
n12
, ,..., были бы линейно зависи-
мы.
23. Пусть
Xxl xl xl
nn
=+
+
11 2 2
... и в то же время Xxl xl xl
nn
=
′′
+
+
11 2 2
... .
Подставляя вместо
′′
ll l
n12
, ,..., их выражения (1), получим
X xal al al x al al al x al al al
nn n n n n n nnn
=
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
1111 212 1 2121 222 2 11 22
( ... ) ( ... ) ... ( ... )
=
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
( ... ) ( ... ) ... ( ... ) .ax ax ax l ax a x a x l ax a x a x l
nn nn n n nnn n11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 12 2