Линейная алгебра. Постникова Л.С - 8 стр.

                                                           8


        20. Число базисных векторов определяет размерность векторного про-
странства.
        21. Каждый вектор х линейного n - мерного пространства R можно пред-
ставить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации век-
торов базиса. Например, l1 , l2 ,..., ln - базис. X = α1l1 + α2l2 +...αnln

        22. Пусть в пространстве Rn имеются два базиса l1 , l2 ,..., ln и l1′′ , l2 ′ ,..., ln ′ .
Пусть первый называется старым базисом, второй - новым. Каждый из элемен-
тов нового базиса можно линейно выразить через векторы старого базиса:

         l1′ = a11l1 + a21l2 +...+ an1ln
         l ′ = a l + a l +...+ a l
            2       12 1       22 2          n2 n              (1)
        .       .    .     .     .      .    .
         ln ′ = a1nl1 + a2 nl2 +...+ annln
        Можно сказать, что новые координатные векторы получаются из старых с
помощью матрицы
           ⎛ a11 a12                  ... a1n ⎞
           ⎜                                   ⎟
             a21 a22                  ... a2 n ⎟
         A=⎜
           ⎜ ... ...                  ... ... ⎟
           ⎜                                   ⎟
           ⎝ an1 an 2                 ... ann ⎠

        Матрица А называется матрицей перехода от базиса l1 , l2 ,..., ln к базису

l1′′ , l2 ′ ,..., ln ′ . Определитель матрицы А не равен нулю, т.к. в противном случае

ее столбцы, а следовательно, и векторы l1′′ , l2 ′ ,..., ln ′ были бы линейно зависи-
мы.

        23. Пусть X = x1l1 + x2l2 +... xn ln и в то же время X = x1′ l1′ + x2 ′l2 ′ +... xn′ ln ′ .

Подставляя вместо l1′′ , l2 ′ ,..., ln ′ их выражения (1), получим
X = x1′ ( a11l1 + a21l2 +...+ an1ln ) + x2′ (a12l1 + a22l2 +...+ an 2ln ) +...+ xn′ ( a1nl1 + a2 nl2 +...+ annln ) =
= (a11x1′ + a12 x2′ +...+ a1n xn′ )l1 + (a21x1′ + a22 x2′ +...+ a2 n xn′ )l2 +...+ (an1x1′ + an12 x2′ +...+ ann xn′ )ln .