Линейная алгебра. Постникова Л.С - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

10
Таким образом, каждому линейному преобразованию
A
∗
в заданном базисе
ll l
n12
,,..., отвечает матрица
A
aa a
aa a
aa a
n
n
nn nn
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
Справедливо обратное утверждение, каждая квадратная матрица А порядка n
может рассматриваться как матрица некоторого линейного преобразования.
27. Если преобразование
A
∗
таково, что
A
x
∗
=
0 только при х = 0, то оно
называется невырожденным; в противном случае преобразование
A
∗
- вырож-
денное.
28. Для того, чтобы преобразование
A
∗
было невырожденным, необходи-
мо и достаточно, чтобы определитель матрицы А этого преобразования был от-
личен от нуля. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется не-
вырожденной матрицей.
29. Если
A
∗
и В
*
- два линейных преобразования линейного пространст-
ва R, то суммой
A
∗
+В
*
называется такое преобразование С
*
, что для любого
x
R
C
x
A
x
B
x
∈=+
∗∗∗
. Сумма двух линейных преобразований тоже линейное
преобразование. Матрица С называется суммой матриц А и В.
30. Если
A
∗
- линейное преобразование пространства R и α - число, то
произведением
A
∗
на α называется такое преобразование α
A
∗
, что для каждо-
го вектора
x
R
∈ ()
αα
Ax Ax
∗
∗
= .
A
∗
- тоже линейное преобразование. Матри-
ца αА называется произведением матрицы А на число α.
31. Произведением
A
∗
В
*
преобразований
A
∗
и В
*
называется такое пре-
образование С
*
, что для каждого вектора
x
R
∈
Cx A Bx
∗∗∗
= () 
                                          10



Таким образом, каждому линейному преобразованию A∗ в заданном базисе
l1 , l2 ,..., ln отвечает матрица

         ⎛ a11 a12           ... a1n ⎞
         ⎜                            ⎟
           a21 a22           ... a2 n ⎟
       A=⎜
         ⎜ ... ...           ... ... ⎟
         ⎜                            ⎟
         ⎝ an1 an 2          ... ann ⎠
Справедливо обратное утверждение, каждая квадратная матрица А порядка n
может рассматриваться как матрица некоторого линейного преобразования.
       27. Если преобразование A∗ таково, что A∗ x = 0 только при х = 0, то оно
называется невырожденным; в противном случае преобразование A∗ - вырож-
денное.
       28. Для того, чтобы преобразование A∗ было невырожденным, необходи-
мо и достаточно, чтобы определитель матрицы А этого преобразования был от-
личен от нуля. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется не-
вырожденной матрицей.
       29. Если A∗ и В* - два линейных преобразования линейного пространст-
ва R, то суммой A∗ +В* называется такое преобразование С* , что для любого
x ∈ R C∗ x = A∗ x + B∗ x . Сумма двух линейных преобразований тоже линейное
преобразование. Матрица С называется суммой матриц А и В.
       30. Если A∗ - линейное преобразование пространства R и α - число, то
произведением A∗ на α называется такое преобразование α A∗ , что для каждо-
го вектора x ∈ R (αA∗ ) x = αA∗ x . αA∗ - тоже линейное преобразование. Матри-
ца αА называется произведением матрицы А на число α.
       31. Произведением A∗ В* преобразований A∗ и В* называется такое пре-
образование С* , что для каждого вектора x ∈ R
        C∗ x = A∗ ( B∗ x )

Страницы