Линейная алгебра. Постникова Л.С - 10 стр.

                                          10



Таким образом, каждому линейному преобразованию A∗ в заданном базисе
l1 , l2 ,..., ln отвечает матрица

         ⎛ a11 a12           ... a1n ⎞
         ⎜                            ⎟
           a21 a22           ... a2 n ⎟
       A=⎜
         ⎜ ... ...           ... ... ⎟
         ⎜                            ⎟
         ⎝ an1 an 2          ... ann ⎠
Справедливо обратное утверждение, каждая квадратная матрица А порядка n
может рассматриваться как матрица некоторого линейного преобразования.
       27. Если преобразование A∗ таково, что A∗ x = 0 только при х = 0, то оно
называется невырожденным; в противном случае преобразование A∗ - вырож-
денное.
       28. Для того, чтобы преобразование A∗ было невырожденным, необходи-
мо и достаточно, чтобы определитель матрицы А этого преобразования был от-
личен от нуля. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется не-
вырожденной матрицей.
       29. Если A∗ и В* - два линейных преобразования линейного пространст-
ва R, то суммой A∗ +В* называется такое преобразование С* , что для любого
x ∈ R C∗ x = A∗ x + B∗ x . Сумма двух линейных преобразований тоже линейное
преобразование. Матрица С называется суммой матриц А и В.
       30. Если A∗ - линейное преобразование пространства R и α - число, то
произведением A∗ на α называется такое преобразование α A∗ , что для каждо-
го вектора x ∈ R (αA∗ ) x = αA∗ x . αA∗ - тоже линейное преобразование. Матри-
ца αА называется произведением матрицы А на число α.
       31. Произведением A∗ В* преобразований A∗ и В* называется такое пре-
образование С* , что для каждого вектора x ∈ R
        C∗ x = A∗ ( B∗ x )