Линейная алгебра. Постникова Л.С - 12 стр.

                                                    12


       35. Вектор X ≠ 0 называется собственным вектором линейного преобра-
зования А*, если найдется такое число λ, что A∗ X = λX . λ называется собст-
венным значением преобразования А*( матрицы А).
       36. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейно-
го преобразования. Выбирается в пространстве R базис l1 ,l2 ,...,ln . Пусть

 X = x1l1 + x2l2 + ...+ xnln , а матрица преобразования А* в этом базисе А(аik). То-
гда
A∗ X = ( a11 x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn )l1 + ( an1 x1 + an 2 x2 + ...+ ann xn )ln =
λ ( x1l1 + x2l2 + ...+ xnln )
Откуда получим систему
⎧( a11 − λ )x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn = 0
⎪a x + ( a − λ )x + ...+ a x = 0
⎪ 21 1        22         2       2n n
⎨
⎪.      .     .      . .       .     .
⎪⎩an1 x1 + an 2 x2 + ...+( ann − λ )xn = 0

Для существования ненулевого решения этой системы ее определитель должен
быть равен нулю.
a 11 − λ    a 12  ...    a 1n
   a 21  a 22 − λ ...    a 2n
                               =0                        (2)
    ...      ...  ...     ...
   a n1     a n2  ... a nn − λ

Это равенство называется характеристическим уравнением, а левая часть его
характеристическим многочленом преобразования А*. Этот многочлен не зави-
сит от выбора базиса. Каждый корень характеристического многочлена будет
собственным значением.
Соответствующие собственные векторы находятся из системы (1).
       37. Квадратичной             формой          называется          однородный    многочлен
f = f ( x1 , x2 ,..., xn ) второй степени от n переменных. Укажем для квадратичной
формы одну специальную форму записи