Линейная алгебра. Постникова Л.С - 12 стр.

UptoLike

Рубрика: 

12
35. Вектор
X
0
называется собственным вектором линейного преобра-
зования А
*
, если найдется такое число λ, что
A
XX
=
λ
. λ называется собст-
венным значением преобразования А
*
( матрицы А).
36. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейно-
го преобразования. Выбирается в пространстве R базис
ll l
n12
, ,..., . Пусть
Xxl xl xl
nn
=+++
11 22
... , а матрица преобразования А
*
в этом базисе А(а
ik
). То-
гда
AX a x a x a x l a x a x a x l
nn n n nnn n
= + ++ + + ++ =(...)(...)
111 122 1 1 11 22
λ
(...)xl xl xl
nn11 22
++
+
Откуда получим систему
() ...
()...
... ( )
axaxax
ax a x ax
ax ax a x
nn
nn
nn nnn
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
11 22
0
0
0
−+++
=
+−++ =
+++=
λ
λ
λ
. . . . . . .
Для существования ненулевого решения этой системы ее определитель должен
быть равен нулю.
aa a
aa a
aa a
n
n
nn nn
11 12 1
21 22 2
12
0
=
λ
λ
λ
...
...
... ... ... ...
...
(2)
Это равенство называется характеристическим уравнением, а левая часть его
характеристическим многочленом преобразования А
*
. Этот многочлен не зави-
сит от выбора базиса. Каждый корень характеристического многочлена будет
собственным значением.
Соответствующие собственные векторы находятся из системы (1).
37. Квадратичной формой называется однородный многочлен
ffxx x
n
= ( , ,..., )
12
второй степени от n переменных. Укажем для квадратичной
формы одну специальную форму записи