Линейная алгебра. Постникова Л.С - 13 стр.

                                                        13



          f = f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + ...+ a1n x1 xn +
       a21 x2 x1 + a22 x22 ...+ a2 n x2 xn +
      .       .      .      .     .      .      .                                (1)
       an1 xn x1 + an 2 xn x2 + ...+ ann xn2
      Матрица, составленная из коэффициентов формы
  ⎛ a11 a12              ... a1n ⎞
  ⎜                               ⎟
    a21 a22              ... a2 n ⎟
A=⎜                                 называется матрицей квадратичной формы. Элементы
  ⎜ ... ...              ... ... ⎟
  ⎜                               ⎟
  ⎝ an1 an 2             ... ann ⎠
матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, рав-
ны между собой, т.е. А - симметричная матрица.
Справедлива теорема: если в квадратичной форме с матрицей А сделано линей-
ное преобразование переменных с матрицей С, то полученная квадратичная
форма будет, иметь матрицу С/ АС, которая является диагональной матрицей.
Пример. Квадратичная форма 7 x12 + 5 x22 + 2 x32 − 8 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3

                  ⎛ 7 −4 1 ⎞
                  ⎜          ⎟
имеет матрицу A = ⎜ − 4 5 − 3⎟
                  ⎜          ⎟
                  ⎝ 1 −3 2 ⎠
После преобразования
x1 = y1 + y2 + y3
x2 = y1 + 2 y2 + 2 y3                        с матрицей
x3 = y1 + y2 + 2 y3

    ⎛ 1 1 1⎞
    ⎜      ⎟
C = ⎜ 1 2 2⎟             данная квадратичная форма перейдет в форму с матрицей
    ⎜      ⎟
    ⎝ 1 1 2⎠

        ⎛ 1 1 1⎞ ⎛ 7 − 4 1 ⎞ ⎛ 1 1 1⎞ ⎛ 2 0 0 ⎞
        ⎜      ⎟⎜           ⎟⎜       ⎟ ⎜         ⎟
C ′AC = ⎜ 1 2 1⎟ ⎜ − 4 5 − 3⎟ ⎜ 1 2 2⎟ = ⎜ 0 3 0 ⎟ ,
        ⎜      ⎟⎜           ⎟⎜       ⎟ ⎜         ⎟
        ⎝ 1 2 2⎠ ⎝ 1 − 3 2 ⎠ ⎝ 1 1 2⎠ ⎝ 0 0 − 1⎠