Линейная алгебра. Постникова Л.С - 13 стр.

UptoLike

Рубрика: 

13
ffxx x axaxx axx
nnn
==++++( , ,..., ) ...
12 111
2
12 1 2 1 1
axx ax axx
nn21 2 1 22 2
2
22
++ +...
. . . . . . . (1)
axx axx ax
nn n n nnn11 22
2
+++...
Матрица, составленная из коэффициентов формы
A
aa a
aa a
aa a
n
n
nn nn
=
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
называется матрицей квадратичной формы. Элементы
матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, рав-
ны между собой, т.е. А - симметричная матрица.
Справедлива теорема: если в квадратичной форме с матрицей А сделано линей-
ное преобразование переменных с матрицей С, то полученная квадратичная
форма будет, иметь матрицу С
/
АС, которая является диагональной матрицей.
Пример. Квадратичная форма 7528 2 6
1
2
2
2
3
2
12 13 23
xxxxxxxxx++− +
имеет матрицу A =
−−
741
45 3
132
После преобразования
xyyy
xy y y
xyy y
1123
21 2 3
312 3
22
2
=++
=+ +
=++
с матрицей
C =
111
122
112
данная квадратичная форма перейдет в форму с матрицей
=
−−
=
CAC
111
121
122
741
45 3
132
111
122
112
20 0
03 0
00 1
,