Линейная алгебра. Постникова Л.С - 11 стр.

                                                         11


        Таким образом, перемножение преобразований состоит в последователь-
ном их выполнении одного за другим; при этом сначала производится преобра-
зование В*, а затем полученный вектор В*х подвергается преобразованию А*.
Произведение линейных преобразований тоже будет линейным преобразовани-
ем. Матрица С называется произведением матриц А и В.
        32. Для каждого невырожденного линейного преобразования А* сущест-
вует такое линейное преобразование (А*)-1 , что A∗ ( A∗ )−1 = ( A∗ )−1 A∗ . Преоб-
разование (А*)-1 - обратное к А* преобразование.
        Существует           матрица         А-1     обратная     для    матрицы     А     такая,   что
AA−1 = A−1 A = E , где Е - единичная матрица.
        33. Если преобразования А* и В* невырожденные, то невырожденным бу-
дет их произведение.
        34. Пусть линейное преобразование Ах в базисе l1 ,l2 ,...,ln имеет матрицу

А, а в базисе l1′ ,l2′ ,...,ln ′ другую матрицу А/.

Обозначим через С матрицу перехода от базиса li к базису li ′ , где

i = 1,2 ,...,n C = ( Cik ) . Тогда li ′ = C1i l1 + C2i l2 + ...+ Cni ln . Будем рассматривать
матрицу С как матрицу линейного преобразования С* в базисе l1 ,l2 ,...,ln . Тогда

C∗li = C1i l1 + C2i l2 + ...+ Cni ln = li ′ . Значит, линейное преобразование С* переводит

векторы l1 ,l2 ,...,ln соответственно в векторы l1′ ,l2 ′ ,...,ln ′ . Для преобразования
С*      существует            обратное          преобразование          (С*)-1   ,   при      котором

( C* )−1 l1′ = l1 ;( C* )−1 l2′ = l2 ,...,( C* )− 1 ln ′ = ln .

По условию, A∗li ′ = a1′i l1′ + a2′ i l2 ′ + ...+ ani′ ln ′ . Применяя к обеим частям этого ра-

венства преобразование (С*)-1, получим A′ = C −1 AC .