Линейная алгебра. Постникова Л.С - 11 стр.

UptoLike

Рубрика: 

11
Таким образом, перемножение преобразований состоит в последователь-
ном их выполнении одного за другим; при этом сначала производится преобра-
зование В
*
, а затем полученный вектор В
*
х подвергается преобразованию А
*
.
Произведение линейных преобразований тоже будет линейным преобразовани-
ем. Матрица С называется произведением матриц А и В.
32. Для каждого невырожденного линейного преобразования А
*
сущест-
вует такое линейное преобразование (А
*
)
-1
, что AA A A
−∗
=() ()
11
. Преоб-
разование (А
*
)
-1
- обратное к А
*
преобразование.
Существует матрица А
-1
обратная для матрицы А такая, что
A
A
A
A
E
−−
==
11
, где Е - единичная матрица.
33. Если преобразования А
*
и В
*
невырожденные, то невырожденным бу-
дет их произведение.
34. Пусть линейное преобразование А
х
в базисе ll l
n12
, ,..., имеет матрицу
А, а в базисе
ll l
n12
′′
,,...,
другую матрицу А
/
.
Обозначим через С матрицу перехода от базиса
l
i
к базису l
i
, где
in CC
ik
==12, ,..., ( ). Тогда lClCl Cl
ii i nin
=+++
11 22
... . Будем рассматривать
матрицу С как матрицу линейного преобразования С
*
в базисе
ll l
n12
, ,...,
. Тогда
Cl C l C l C l l
ii i nini
=+++=
11 22
... . Значит, линейное преобразование С
*
переводит
векторы
ll l
n12
, ,...,
соответственно в векторы ll l
n12
, ,...,
. Для преобразования
С
*
существует обратное преобразование (С
*
)
-1
, при котором
() ;() ,...,()
** *
CllCll Cll
nn
−−
=
=
=
1
11
1
22
1
.
По условию,
Al a l a l a l
ii i nin
=
+
++
11 22
... . Применяя к обеим частям этого ра-
венства преобразование (С
*
)
-1
, получим
=
A
C
C
1
.