Линейная алгебра. Постникова Л.С - 9 стр.

                                                      9


           Т.к. разложение любого вектора по базису - единственное, то следует,
    x1 = a11x1′ + a12 x2′ +...+ a1n xn′
    x2 = a21x1′ + a22 x2′ +...+ a2 n xn′
что
    . . . . .                .     .
    xn = an1x1′ + an12 x2′ +...+ ann xn′
           Таким образом, старые координаты вектора X получаются из новых с
помощью той же матрицы А, только коэффициенты соответствующих разложе-
ний образуют строки этой матрицы.
           24. В линейном пространстве R задано преобразование A∗ , если каждому
вектору x ∈ R поставлен в соответствие определенный вектор A∗ х. Вектор A∗ х
называется образом вектора х.
           25. Преобразование A∗ называется линейным, если для любых двух век-
торов х и у из R и произвольного действительного числа α выполняются свой-
ства
           1) A∗ ( x + y ) = A∗ x + A∗ y

           2) A∗ (α x ) = αA∗ x
           26. Выберем в пространстве R базис l1 , l2 ,..., ln . Если X = x1l1 + x2l2 +... xnln ,

то в силу линейности преобразования A∗ имеем A∗ X = x1 Al1′ + x2 Al2′ +...+ xn Aln′ .

           Но так как Ali - тоже вектор из R, то A∗li можно разложить по базису

l1 , l2 ,..., ln .
            A∗li = a1i l1 + a2i l2 +...+ ani ln
           Тогда A∗ X = x1′l1 + x2′ l2 +...+ xn′ ln
           Ввиду единственности разложения вектора по базису имеем
           x1′ = a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn
           x2′ = a21x1 + a22 x2 +...+ a2 n xn
           . . . . . . . .
           xn′ = an1x1 + an 2 x2 +...+ ann xn