Линейная алгебра. Постникова Л.С - 7 стр.

                                                         7



⎧a11x1 + a12 x2 +...+ a1r xr = − a1r +1xr +1 −...− a1n xn ,
⎪a x + a x +...+ a x = − a
⎪ 21 1 22 2              2r r        2 r +1 xr +1 −...− a2 n xn ,
⎨                                                                   (3)
⎪. . . . . . . . . . .
⎪⎩ar1x1 + ar 2 x2 +...+ arr xr = − arr +1xr +1 −...− arn xn .

Систему (3) решить по формулам Крамера.
        16. Множество R элементов x,y,z,... называются линейным, или вектор-
ным, пространством, если для любых двух его элементов х, у определена сумма
x + y ∈ R и для каждого элемента x ∈ R и каждого вещественного числа α оп-
ределено произведение αx ∈ R так, что выполнены следующие условия:
1) x + y = y + x для всех x , y ∈ R
2) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) для всех x , y , z ∈ R
3) Существует такой (нулевой) элемент O ∈ R , что x + 0 = x для всех x ∈ R
4) Для каждого элемента x ∈ R существует такой элемент -х ( называемый про-
   тивоположным к х), что х+(-х)=0.
5) 1 ⋅ x = x
6) α ( β x ) = (α β ) x
7) (α + β ) x = α x + β x
8) α ( x + y ) = α x + α y
Элементы векторного пространства называются векторами.
        17. Векторы a1 , a2 ,..., ak линейного пространства R называются линейно
зависимыми, если существуют такие числа α1 ,α 2 ,...,α k , не равные одновремен-
но нулю, что α1a1 + α 2a2 +...+α k ak = 0 .
                                                  α1     α          α
        Например, αk ≠ 0 , то ak = −                 a1 − 2 a2 −...− k −1 ak −1
                                                  αk     αk          αk
        18. Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно
независимыми.
        19. Совокупность n линейно независимых векторов n - мерного простран-
ства R называется его базисом.