Курс общей астрофизики. Постнов К.А - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

166
Приложение A. Гравитация
рования). Перепишем эту энергию иначе, используя понятие гра-
витационного потенциала. Для этого просуммируем потенциаль-
ные энергии, создаваемые всеми массами. В k-й точке имеем
φ
k
= −
N
i=k
Gm
i
r
ik
,
откуда
U
g
=
1
2
N
k=1
φ
k
m
k
=
1
2
φdm,
где второе равенство получается при предельном переходе к непре-
рывному распределению массы. В случае сферически-симметрич-
ного распределения массы с плотностью ρ(x)
m(r)=4π
r
0
ρ(x)x
2
dx.
На расстоянии r от центра потенциал создается массой внутри r и
наружными слоями:
φ(r)=−
Gm(r)
r
−
M
m(r)
Gdm
r
(m)
(верхний предел во втором интеграле определяет полную массу те-
ла M =4π
R
0
ρ(x)x
2
dx срадиусомR). Тогда
U
g
=
1
2
G
M
0
dm
⎡
⎣
−
m
r(m)
−
M
m
dm
r
(m)
⎤
⎦
.
Обозначим f (m)=
M
m
dm/r(m) и проинтегрируем по частям:
M
0
f(m)dm = mf|
M
0
−
M
0
mdf = −
M
0
mdf =
M
0
mdm/r
(m).
166                                                   Приложение A. Гравитация

рования). Перепишем эту энергию иначе, используя понятие гра-
витационного потенциала. Для этого просуммируем потенциаль-
ные энергии, создаваемые всеми массами. В k-й точке имеем
                                              
                                              N
                                                Gmi
                                   φk = −                   ,
                                                     rik
                                              i=k

откуда
                                                           
                            1
                                    N
                                       1
                       Ug =    φk mk =                           φdm,
                            2          2
                                    k=1
где второе равенство получается при предельном переходе к непре-
рывному распределению массы. В случае сферически-симметрич-
ного распределения массы с плотностью ρ(x)
                                              r
                             m(r) = 4π             ρ(x)x2 dx.
                                              0

На расстоянии r от центра потенциал создается массой внутри r и
наружными слоями:
                                                      M
                                 Gm(r)                          Gdm
                        φ(r) = −       −
                                   r                            r  (m)
                                                     m(r)

(верхний предел во втором интеграле определяет полную массу те-
          R
ла M = 4π ρ(x)x2 dx с радиусом R). Тогда
              0
                                          ⎡                               ⎤
                               M                           M
                      1                    m                        dm ⎦
                  Ug = G            dm ⎣−      −                            .
                      2                   r(m)                    r  (m)
                               0                            m

                        M
Обозначим f (m) =            dm/r(m) и проинтегрируем по частям:
                        m

      M                            M                M                  M
           f (m)dm =   mf |M
                           0   −         mdf = −           mdf =               mdm/r  (m).
      0                             0                 0                   0

Страницы