Курс общей астрофизики. Постнов К.А - 167 стр.

A.2. Время свободного падения                                167

Интеграл от второго слагаемого в точности равен интегралу от пер-
вого.
   Окончательно получаем для гравитационной энергии сфериче-
ски симметричного распределения массы

                                 M
                                      mdm
                       Ug = −G             ,               (A.3)
                                      r(m)
                                  o

где переход между переменной массой m и радиусом r осуществля-
ется по формуле
                      dm(r) = 4πρ(r)r 2 dr.
Физический смысл выражения (A.3) ясен: при переносе из бес-
конечности элемента массы dm на расстояние r от центра тела с
массой m(r) должна освобождаться гравитационная энергия связи
∆E = |φ(r)|dm = Gm(r)dm/r.
   Для однородного шара с плотностью ρ формула (A.3) дает

                          16π 2 2 5     3 GM 2
                 Ug = −        Gρ R = −        .           (A.4)
                           15           5 R
Это важный результат, который показывает, что гравитационная
энергия самогравитирующего тела (системы тел) пропорциональ-
на квадрату массы тела (системы) и обратно пропорциональна его
размеру.

A.2. Время свободного падения
   Важной характеристикой гравитирующих систем является вре-
мя свободного падения, или динамическое время. По определению,
это время, за которое частица, подверженная только гравитаци-
онному ускорению со стороны точечной массы M , достигает этой
массы из состояния покоя на расстоянии R от тяготеющего центра.
За это же время формально произойдет сжатие шара массы M с
радиусом R в точку, если мгновенно “отключить” все силы, кроме
силы притяжения (например, гравитационный коллапс звезды).