Курс общей астрофизики. Постнов К.А - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

168
Приложение A. Гравитация
Пусть R
0
и ρ
0
− начальные значения радиуса и плотности шара
массы М (t=0). Уравнение движения точки на границе коллапси-
рующего шара
d
2
R
dt
2
= −
GM
R
2
.
Из уравнения движения получаем закон сохранения энергии:
1
2
dR
dt
2
−
GM
R
= const = −
GM
R
0
.
Полное время свободного сжатия t
ff
, за которое точка на поверх-
ности шара пройдет путь от R = R
0
до 0 (на практике – время, за
которое выполняется условие R R
0
) определяется из уравнения
dR
dt
dt
= −R
0
,
где интеграл берется от t =0до t = t
ff
. Результат:
t
ff
=
3π
32Gρ
0
, (A.5)
где начальная плотность ρ
0
= M/(4/3πR
3
0
). Время свободного сжа-
тия (коллапса) определяется только начальной плотностью сжи-
мающегося тела (например, облака газа на стадии формирования
протозвезды).
A.3. Теорема вириала
Для гравитационно-связанных систем можно сделать несколь-
ко простых и полезных оценок, связывающих их массу, размер
и характерные времена или скорости движения их составных ча-
стей. Эти оценки основаны на применении теоремы вириала для
механических систем (см. любой курс механики). Эта теорема в
несколько измененном виде также применима и к газообразным
звездам (см. раздел “Стационарные звезды” в основной части кур-
са). Теорема вириала устанавливает связь между средним по вре-
мени значением кинетической энергии (как для одной частицы, так
168                                       Приложение A. Гравитация

   Пусть R0 и ρ0 − начальные значения радиуса и плотности шара
массы М (t=0). Уравнение движения точки на границе коллапси-
рующего шара
                         d2 R    GM
                            2
                              =− 2 .
                         dt       R
Из уравнения движения получаем закон сохранения энергии:
                          2
                 1   dR           GM             GM
                              −      = const = −    .
                 2   dt            R             R0
Полное время свободного сжатия tf f , за которое точка на поверх-
ности шара пройдет путь от R = R0 до 0 (на практике – время, за
которое выполняется условие R  R0 ) определяется из уравнения
                     
                          dR
                              dt = −R0 ,
                          dt
где интеграл берется от t = 0 до t = tf f . Результат:
                                 
                                     3π
                          tf f =            ,                (A.5)
                                   32Gρ0
где начальная плотность ρ0 = M/(4/3πR03 ). Время свободного сжа-
тия (коллапса) определяется только начальной плотностью сжи-
мающегося тела (например, облака газа на стадии формирования
протозвезды).

A.3. Теорема вириала
    Для гравитационно-связанных систем можно сделать несколь-
ко простых и полезных оценок, связывающих их массу, размер
и характерные времена или скорости движения их составных ча-
стей. Эти оценки основаны на применении теоремы вириала для
механических систем (см. любой курс механики). Эта теорема в
несколько измененном виде также применима и к газообразным
звездам (см. раздел “Стационарные звезды” в основной части кур-
са). Теорема вириала устанавливает связь между средним по вре-
мени значением кинетической энергии (как для одной частицы, так

Страницы