Курс общей астрофизики. Постнов К.А - 180 стр.

180       Приложение D. Влияние рассеяния на перенос излучения

   Выше упоминалось, что поглощение фотона в среде тоже может
рассматриваться с вероятностных позиций: вероятность поглоще-
ния в области оптической толщиной τν есть e−τν . Аналогично, в
случае изотропного рассеяния можно говорить о равной вероятно-
сти рассеяния кванта в равные телесные углы. Длина свободного
пробега фотона до рассеяния или поглощения становится основ-
ной характеристикой.
   Рассмотрим бесконечную рассеивающую среду. Пусть фотон
проходит расстояние ri до каждого i-го рассеяния. Через N шагов
смещение фотона из первоначального положения будет равно
                          R = r1 + r2 + . . . rN .               (D.4)
Очевидно, среднее значение вектора R = 0. Отличной от нуля
величиной будет средний квадрат смещения:
      l∗2 ≡ R2 = r21 + r22 + . . . + r2N + 2 r1 · r2 + . . . .   (D.5)
После усреднения все средние квадраты i-х смещений дадут квад-
рат средней длины свободного пробега l, а средние скалярные про-
изведения будут равны нулю (как среднее значение косинуса угла
между направлением до и после рассеяния для изотропного рас-
сеяния; это утверждение остается справедливым и в случае любо-
го рассеяния с симметрией вперед-назад, например томсоновского
или рэлеевского рассеяния). Тогда
                                      √
                    l∗2 = N l2 ,  l∗ = N l .               (D.6)
То есть корень из среднего квадрата смещения фотона при рассея-
нии возрастает как корень квадратный из числа рассеяний.
    Пусть среда характеризуется размером L, и оптическая толщи-
на по рассеянию больше единицы. Фотон будет рассеиваться до
тех пор, пока не выйдет из среды. При этом по порядку величи-
ны можем положить l∗ ∼ L, то есть число рассеяний внутри среды
N ∼ L2 /l2 . Так как l есть средняя длина свободного пробега фото-
на, то вспоминая смысл оптической толщи τ получаем
                          N ∼ τ 2,       τ     1.                (D.7)