Составители:
Рубрика:
30
§8. Интегрирование рациональных функций
Так как всякую неправильную рациональную дробь путем деления
числителя на знаменатель можно представить в виде суммы много-
члена и правильной рациональной дроби, то интегрирование непра-
вильных рациональных дробей сводится к интегрированию многочлена
и правильной рациональной дроби. Но интегрирование многочлена
проводится элементарно, а теорема о разложимости правильной рацио-
нальной дроби на простейшие дроби позволяет свести ее интегрирова-
ние к интегрированию простейших дробей. Перейдем к рассмотрению
интегралов от простейших дробей.
Интегралы от простейших дробей первого типа вычисляются про-
сто. Действительно, при k = 1 имеем
∫
+−=
−
−
=
−
,ln
)(
CaxA
a
x
axd
Adx
a
x
A
при k = 2,3, …
1
() 1
()()
() () 1()
k
kk k
Adxa A
dx A A x a d x a C
xa xa k xa
−
−
−
==−−=⋅+
−− −−
∫∫∫
.
Прежде чем переходить к интегрированию простейших дробей вто-
рого типа, преобразуем квадратичный трехчлен х
2
+рх + q, стоящий в
знаменателе простейшей дроби второго типа, к сумме квадратов
,
242
2
2
2
2
2
a
p
x
p
q
p
xqpxx +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=++
где введено обозначение .
4
2
p
qa −=
Введя замену переменной по
формуле
2
p
xt +=
, сможем написать
(
)
(
)
.
2
)(
2222
2
∫∫ ∫
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
+
=
++
+
kkk
at
dtp
MN
at
tdt
Mdx
qpxx
NMx
(1.39)
Рассмотрим сначала случай k = 1. В этом случае имеем
()
22222
22
2
2
ln .
22
Mx N tdt p dt
dx M N M
x
px q t a t a
MNMpt
ta arctg C
aa
+
⎛⎞
=+− =
⎜⎟
++ + +
⎝⎠
−
=++ +
∫∫ ∫
Вернувшись к старой переменной, получим требуемый результат.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
