Составители:
Рубрика:
32
() () ()
(
)
.
)1(2
1
)1(2
)1(2
1
)1(2
1
1
1
22
1
22
1
2222
2
−
−
−−
−
−
+−
=
=
+
−
−
+
⋅
−
=
+
∫∫
k
k
kkk
I
k
atk
t
at
dt
k
at
t
k
at
dtt
Подставив последнюю формулу в равенство (1.42), получим
()
,
)1(2
1
)1(2
1
1
1
22
1
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
+−
−=
−
−
− k
k
kk
I
k
atk
t
I
a
I
или в таком виде
(
)
.,3,2;
)1(2
32
)1(2
1
21
222
"=
−
−
+
+−
=
−
−
kI
ka
k
atka
t
I
k
k
k
Последняя формула позволяет находить (без интегрирования) инте-
грал
k
I , если известно выражение для интеграла .
1−k
I Такого типа
формулы называются рекуррентными. Например, зная что
∫
+=
+
= ,
1
22
1
C
a
t
arctg
a
a
t
dt
I
находим по рекуррентной формуле (положив k=2)
(
)
.
2
1
2
3222
2
C
a
t
arctg
aata
t
I ++
+
=
Используя полученное выражение для
2
I , по той же формуле можно
найти
3
I , затем
4
I и т.д. вплоть до нужного значения k. Для получения
окончательного выражения для неопределенного интеграла простейшей
дроби второго типа при 1≠
k
, следует возвратиться от переменной t к
первоначальной переменной х.
Примеры: 1. Вычислить
∫
−
−−
.
4
829
3
2
dx
x
x
xx
Подинтегральная функция - правильная рациональная дробь (в чис-
лителе стоит многочлен второй степени, а в знаменателе - третьей).
Простыми корнями знаменателя являются числа 0, -2, 2, так что сам
знаменатель x
3
– 4x может быть разложен на множители
x
3
– 4x = x(x - 2)(x + 2).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
