Составители:
Рубрика:
73
[][][]
222
() () ()Stttdt
β
α
ϕψ λ
′′′
=++
∫
. (2.42)
Пример. Найти длину дуги винтовой линии
(
)
3cos , 3sin , 4 0 2xtytztt
π
===≤≤
Вычислим сначала производные
3sin , 3cos , 4xtytz
′′′
=− = =
,
а затем в согласии с формулой (2.42) будем иметь
()()
22
2
22
2
0
00
3sin 3cos 4 5 5 10Sttdtdtt
π
π
π
π
=− + += ==
∫∫
.
Выведем теперь формулу для длины дуги плоской кривой, которая
задана в полярных координатах с помощью уравнения
()
ρ
ρϕ
= , где
функция
(
)
ρ
ϕ
- непрерывно дифференцируема на промежутке
[
]
,
α
β
, а
начальная и конечная точки имеют полярные углы а и
β
соответствен-
но. Для решения задачи выпишем формулы перехода от полярных ко-
ординат к прямоугольным
(
)
(
)
(
)
cos , sin ,xy
ρ
ϕϕ ρϕϕαϕβ
== ≤≤. (2.43)
Рассматривая формулы (2.43) как параметрические уравнения ду-
ги с параметром
ϕ
и используя формулу (2.41), будем последовательно
иметь cos sin , sin cos
x
y
ρ
ϕρ ϕ ρ ϕρ ϕ
′′ ′′
=− =+
, откуда следует
() () ( ) ( )
22 2 2
cos sin sin cosxy
ρϕρϕ ρϕρϕ
′′ ′ ′
+= − + + =
()
2
222
cos 2 cos sin sin
ρ
ϕρρ ϕϕρ ϕ
′′
=− ++
()
2
222
sin 2 cos sin cos
ρ
ϕρρ ϕϕρ ϕ
′′
++ +=
()
()
(
)
()
22
2222 2 2
cos sin sin cos
ρ
ϕϕρϕϕρρ
′′
=+++=+
.
Итак, окончательно
()
2
2
Sd
β
α
ρ
ρϕ
′
=+
∫
. (2.44)
Пример. Вычислить длину окружности радиуса R. Если центр
окружности совместить с полюсом, то ее уравнение имеет вид R
ρ
=
, а
тогда 0
ρ
′
=
и по формуле (2.44) находим
(
)
2
2
0
0
2SRdR R
π
π
ϕ
ϕπ
== =
∫
.
