Составители:
Рубрика:
72
§8. Вычисление длины дуги кривой и площади
поверхности вращения
Вычисление длины дуги кривой.
В дифференциальном исчислении функции одной переменной бы-
ло дано определение длины дуги кривой как предела длин вписанных в
нее ломаных при стремлении к нулю длины наибольшей стороны ло-
маной. Там же было получено выражение для дифференциала длины
дуги кривой, ограниченной фиксированной точкой А и переменной (те-
кущей) точкой М.
Если плоская дуга АВ задана параметрическими уравнениями
(
)
(), ()xtyt t
ϕ
ψαβ
== ≤≤, (2.37)
где функции
()t
ϕ
и
()t
ψ
имеют непрерывные производные, не обра-
щающиеся в нуль одновременно, то дифференциал длины дуги S(t) от
точки А до переменной точки М(t) находится по формуле
[][]
22
() ()dS t t dt
ϕψ
′′
=+
. (2.38)
В частности, если дуга АВ задана в явном виде уравнением
(
)
()yfx axb=≤≤, (2.39)
то
[]
2
1()dS f x dx
′
=+ . (2.40)
Интегрируя выражения (2.38) и (2.40), можно получить формулы для
длины дуги. Действительно, если дуга задана параметрическими урав-
нениями (2.37), то, пользуясь формулой (2.38), получим
[][]
22
() ()Sttdt
β
α
ϕψ
′′
=+
∫
. (2.41)
Если же дуга задана в явном виде уравнением (2.39), то в согласии
с формулой (2.40) будем иметь
[]
2
1()
b
a
Sfxdx
′
=+
∫
.
Примечание. Выше рассматривался случай плоских кривых.
Если же требуется найти длину S пространственной гладкой кривой,
которая задана параметрическими уравнениями
(
)
(), (), ()xtytzt t
ϕ
ψλαβ
=== ≤≤,
то можно показать, что имеет место формула
