Составители:
Рубрика:
70
Рассмотрим вначале вспомогательную задачу. Пусть дано тело ко-
нечных размеров, для которого известны площади всех сечений, пер-
пендикулярных некоторой прямой. Выведем формулу для вычисления
объема V этого тела. Примем указанную прямую за ось Ох и обозна-
чим через а и b (при условии, что а < b) абсциссы точек пересечения
с осью перпендикулярных ей крайних плоскостей, ограничивающих
тело. По условию задачи площадь сечения тела плоскостью, проходя-
щей через точку с абсциссой х перпендикулярно оси абсцисс, является
известной функцией S(x). Разобьем данное тело на п слоев при помо-
щи плоскостей, перпендикулярных оси Ох и проходящих через точки с
абсциссами
12 1
, ,...,
n
x
xx
−
так, чтобы
012 1
...
nn
ax x x x x b
−
=
<<<< < =
и выберем внутри каждого промежутка
[
]
(
)
1
,0,1,2,...,1
kk
xx k n
+
=−
произвольно по точке
k
c . Будем считать объем слоя, ограниченного
сечениями
1
è
kk
x
xxx
+
==, приближенно равным объему такого пря-
мого цилиндра, высота которого равна
1
kk k
x
xx
+
Δ
=−
, a основанием
служит фигура, которая получается в сечении тела плоскостью
k
x
c
=
.
Как известно, объем такого цилиндра равен произведению площади ос-
нования на высоту. Таким образом, объем рассматриваемого слоя при-
ближенно равен произведению
(
)
kk
Sc x
Δ
, а для искомого объема тела
сможем написать
()
1
0
n
kk
k
VScx
−
=
≈
Δ
∑
. (2.33)
Обозначим через
λ
- ранг дробления промежутка
[
]
,ab на части, т.е.
{
}
max
k
x
λ
=Δ. Естественно считать, что погрешность приближенного
равенства (2.33) будет стремиться к нулю при безграничном увеличе-
нии числа секущих плоскостей и стремлении всех расстояний между
ними к нулю, т.е. при
0
λ
→
. Таким образом,
()
1
0
0
lim
n
kk
k
VScx
λ
−
→
=
=Δ
∑
. (2.34)
Сумма, стоящая в правой части равенства (2.34), представляет собой
интегральную сумму для функции
()Sx
на промежутке
[
]
,ab , а ее
предел равен интегралу ()
b
a
Sxdx
∫
, т.е. имеем окончательно
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
