Составители:
Рубрика:
69
полярных координатах непрерывной функцией
[
]
(), ,f
ρ
ϕϕαβ
=
∈
(рис.11). Такую фигуру называют криволинейным сектором. Для
отыскания площади S данного криволинейного сектора разобьем
данный сектор на более узкие секторы при помощи лучей
()
0,1,2,...,
k
kn
ϕ
ϕ
== при условии
012 1
...
nn
α
ϕϕϕ ϕ ϕβ
−
=<<<< <=. Внутри каждого отрезка
[
]
()
1
0,1, 2,..., 1
kk
kn
ϕ
ϕ
+
+= − выберем произвольно по значению
k
c и
будем считать, что площадь частичного криволинейного сектора
рассматриваемой фигуры, ограниченного лучами
1
è
kk
ϕ
ϕϕϕ
+
==,
приближенно равна площади кругового сектора, ограниченного те-
ми же лучами и окружностью радиуса
(
)
k
f
c
ρ
=
. Из курса сред-
ней школы известно, что площадь указанного кругового сектора
равна
()
2
1
2
kk
fc
ϕ
Δ , где введено обозначение
()
1
0,1, 2,..., 1
kk k
kn
ϕ
ϕϕ
+
Δ= − = −. Естественно считать, что
()
1
2
0
0
1
2
lim
n
kk
k
Sfc
λ
ϕ
−
→
=
=
Δ
∑
(2.31)
где
{
}
max
k
λ
ϕ
=Δ. Сумма, стоящая в правой части равенства (2.31),
представляет собой интегральную сумму для функции
()
2
1
2
f
ϕ
на
промежутке
[
]
,
α
β
, а ее предел равен интегралу
()
2
1
2
f
d
β
α
ϕ
ϕ
∫
. Таким
образом,
()
2
1
2
Sfd
β
α
ϕ
ϕ
=
∫
(2.32)
Пример. Вычислить площадь круга радиуса R.
В полярной системе координат уравнение окружности с центром в
полюсе имеет вид
R
ρ
=
. В согласии с формулой (2.32) имеем
(
)
2
2
2
222
0
0
1
2
22
R
SRd R R
π
π
ϕ
ϕππ
====
∫
.
Вычисление объема тела вращения.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
