Составители:
Рубрика:
74
Вычисление площади поверхности вращения.
Пусть на плоскости дана дуга АВ, уравнение которой
()
()yfxaxb=≤≤, причем функция ()
f
x неотрицательна на
[
]
,ab
и имеет непрерывную производную. Требуется вычислить площадь
Q поверхности, получающейся при вращении дуги АВ вокруг оси
Ох (рис.13). Разобьем промежуток
[
]
,ab точками
12 1
, ,...,
n
x
xx
−
и про-
ведем через каждую из точек по прямой перпендикулярной оси Ох
до пересечения с кривой АВ. Соединив последовательно полученные
точки пересечения, получим ломанную.
Учитывая, что
площадь боковой по-
верхности усеченного
конуса, имеющего ра-
диусы оснований r и
R, а образующую
длиной l , равна про-
изведению
()
rRl
π
+
,
можем утверждать,
что площадь
n
Q по-
верхности, получен-
ной при вращении
указанной ломанной
вокруг оси Ох, может
быть вычислена по
формуле
() ( )
1
22
1
0
n
nkkkk
k
Qfxfxxy
π
−
+
=
⎡⎤
=
+Δ+Δ
⎣⎦
∑
,
где положено
11
,
kk k kk k
x
xxyyy
++
Δ= − Δ= −. Устремляя ранг дроб-
ления
{
}
max
k
x
λ
=Δ к нулю, можно показать (мы этого делать не
будем), что имеет место формула
[]
2
2()1 ()
b
a
Qfxfxdx
π
′
=+
∫
.
Ðè ñ . 1 3
a
A
k
x
1k
x
+
b
x
O
y
()yfx=
()
kk
yfx=
11
()
kk
yfx
++
=
B
