Пределы. - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ðÒÅÄÅÌÙ
§1. ðÒÅÄÅÌ ÆÕÎËÃÉÉ
1.1. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ
ðÕÓÔØ a ¡ ÔÏÞËÁ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÐÒÑÍÏÊ, a ∈ (b; c). ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
E := {x | x ∈ (b; c)\{a}}.
þÉÓÌÏ a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÐÒÉ x, ÓÔÒÅÍÑÝÅÍÓÑ Ë a (ÏÂÏ-
ÚÎÁÞÁÅÔÓÑ A = lim
x→a
f(x)), ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ε (∀ε > 0)
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ δ (∃δ = δ(ε)), ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x (∀x)
ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ 0 < |x − a| < δ, x ∈ E, ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |f(x) − A| < ε.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÅÌÁ ÎÅÔ ÎÉËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÎÁ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ÆÕÎËÃÉÉ f(x) × ÔÏÞËÅ a, ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÎÅÔ ÄÁÖÅ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ
f(x) ÂÙÌÁ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ × ÔÏÞËÅ a.
åÓÌÉ × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÅÌÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÚÁÍÅÎÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï E ÎÁ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×Ï E
+
= E ∩{x > a} (E
−
= E ∩ {x < a}), ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÄÎÏ-
ÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÐÒÅÄÅÌÏ× × ÔÏÞËÅ lim
x→a+
f(x)
lim
x→a−
f(x)
. âÅÒ¾ÔÓÑ ÐÒÁ×ÁÑ (ÌÅ×ÁÑ)
ÐÏÌÕÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ a, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ ×ÉÄÁ (a, a + δ), δ > 0
(a −δ, a)
.
ðÒÉÍÅÒ 1. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ lim
x→4
x
2
= 16.
òÅÛÅÎÉÅ. ëÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÅÄÅÌÁ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÃÅÎÉÔØ
ÒÁÚÎÏÓÔØ |x
2
− 16|. éÍÅÅÍ, |x
2
− 16| = |x − 4| · |x + 4|. ÷ÙÄÅÌÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ
ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ 4, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (3; 5). äÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ (3; 5) ÉÍÅÅÍ
|x + 4| < 9, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, |x
2
− 16| < 9 · |x − 4|. ôÁË ËÁË δ-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ
ÔÏÞËÉ x = 4 (4 − δ; 4 + δ) ÎÅ ÄÏÌÖÎÁ ×ÙÈÏÄÉÔØ ÚÁ ÐÒÅÄÅÌÙ (3; 5), ÔÏ ÂÅÒ¾Í
δ = min
1;
ε
9
, É ÉÚ ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÏÃÅÎÏË ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 0 <
< |x −4| < δ ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |x
2
−16| < ε. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, lim
x→4
x
2
= 16.
þÉÓÌÏ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÐÒÉ x → +∞
h
x → −∞;
x → ∞
i
ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ: lim
x→+∞
f(x) = A
h
lim
x→−∞
f(x) = A; lim
x→∞
f(x) = A
i
,
ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ε (∀ε > 0) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÐÏÌÏ-
ÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ C (∃C = C(ε)), ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x, ÔÁËÏÇÏ ÞÔÏ x > C, x ∈ E
1
                             ðÒÅÄÅÌÙ

§1. ðÒÅÄÅÌ ÆÕÎËÃÉÉ
1.1. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ

   ðÕÓÔØ a ¡ ÔÏÞËÁ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÐÒÑÍÏÊ, a ∈ (b; c). ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
                         E := {x | x ∈ (b; c)\{a}} .
   þÉÓÌÏ a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÐÒÉ x, ÓÔÒÅÍÑÝÅÍÓÑ Ë a (ÏÂÏ-
ÚÎÁÞÁÅÔÓÑ A = lim f (x)), ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ε (∀ε > 0)
               x→a
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ δ (∃δ = δ(ε)), ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x (∀x)
ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ 0 < |x − a| < δ, x ∈ E, ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |f (x) − A| < ε.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÅÌÁ ÎÅÔ ÎÉËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÎÁ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ÆÕÎËÃÉÉ f (x) × ÔÏÞËÅ a, ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÎÅÔ ÄÁÖÅ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ
f (x) ÂÙÌÁ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ × ÔÏÞËÅ a.
   åÓÌÉ × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÅÌÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÚÁÍÅÎÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï E ÎÁ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×Ï E+ = E ∩{x > a} (E− = E ∩ {x< a}), ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ
                                                       ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÄÎÏ-
ÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÐÒÅÄÅÌÏ× × ÔÏÞËÅ lim f (x)   lim f (x) . âÅÒ¾ÔÓÑ ÐÒÁ×ÁÑ (ÌÅ×ÁÑ)
                             x→a+        x→a−
                                                                           
ÐÏÌÕÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ a, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ ×ÉÄÁ (a, a + δ), δ > 0 (a − δ, a) .
  ðÒÉÍÅÒ 1. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ lim x2 = 16.
                              x→4
   òÅÛÅÎÉÅ. ëÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÅÄÅÌÁ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÃÅÎÉÔØ
ÒÁÚÎÏÓÔØ |x2 − 16|. éÍÅÅÍ, |x2 − 16| = |x − 4| · |x + 4|. ÷ÙÄÅÌÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ
ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ 4, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (3; 5). äÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ (3; 5) ÉÍÅÅÍ
|x + 4| < 9, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, |x2 − 16| < 9 · |x − 4|. ôÁË ËÁË δ-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ
ÔÏÞËÉ x =  4 ε(4 − δ; 4 + δ) ÎÅ ÄÏÌÖÎÁ ×ÙÈÏÄÉÔØ ÚÁ ÐÒÅÄÅÌÙ (3; 5), ÔÏ ÂÅÒ¾Í
δ = min 1; 9 , É ÉÚ ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÏÃÅÎÏË ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 0 <
< |x − 4| < δ ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |x2 − 16| < ε. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, lim x2 = 16.
                                                                 x→4
                                                                 h
   þÉÓÌÏ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÐÒÉ x → +∞ x → −∞;
        i                                h                               i
x → ∞       ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ: lim f (x) = A lim f (x) = A; lim f (x) = A ,
                         x→+∞              x→−∞            x→∞
ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ε (∀ε > 0) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÐÏÌÏ-
ÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ C (∃C = C(ε)), ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x, ÔÁËÏÇÏ ÞÔÏ x > C, x ∈ E
                                   1

Страницы