Пределы. - 2 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

2 §1. ðÒÅÄÅÌ ÆÕÎËÃÉÉ
h
x < −C, x ∈ E; |x| > C, x ∈ E
i
×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |f(x) − A| < ε.
ðÒÉÍÅÒ 2. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ lim
x→+∞
x cos x
x
2
−10x+100
= 0.
òÅÛÅÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÕÞ x > 20, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÂÕÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ ÄÁÌØ-
ÎÅÊÛÉÅ ÏÃÅÎËÉ. äÌÑ x > 20 ÉÍÅÅÍ:
x
2
− 10x + 100 > x
2
− 10x = x(x − 10) >
x
2
2
,
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
x cos x
x
2
− 10x + 100
<
x
x
2
/2
=
2
x
.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ C = max
20;
2
ε
, ÔÏ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á x > C ÓÌÅÄÕÅÔ
x cos x
x
2
− 10x + 100
< ε, ÔÏ ÅÓÔØ lim
x→+∞
x cos x
x
2
− 10x + 100
= 0.
ðÒÉÍÅÒ 3. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) = sin
1
x
ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÐÒÅÄÅÌÁ ÐÒÉ
x → 0.
òÅÛÅÎÉÅ. úÁÐÉÛÅÍ Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ¤ÞÉÓÌÏ A
ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÐÒÉ x → a¥:
∃ε
0
> 0 : ∀δ > ∃x
δ
= x(δ) : 0 < |x
δ
− a| < δ, x
δ
∈ E, |f(x
δ
) − A| > ε
0
.
åÓÌÉ A = 0, ÔÏ ×ÏÚØÍ¾Í ε
0
=
1
2
É x
k
=
1
2πk+π/2
, ÔÏÇÄÁ
∀δ > 0∃k ∈ N : 0 < x
k
< δ É |f(x
k
) − 0| = |f(x
k
| = 1 > ε
0
,
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÕÌØ ÎÅ ÅÓÔØ ÐÒÅÄÅÌ f(x) = sin
1
x
ÐÒÉ x → 0. åÓÌÉ ÖÅ A 6= 0,
ÔÏ ×ÏÚØÍ¾Í ε
0
=
|A|
2
É x
k
=
1
2πk
. ôÏÇÄÁ
∀δ > 0∃k ∈ N : 0 < x
k
< δ É |f (x
k
) − A| = |A| > ε
0
,
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, É ÌÀÂÏÅ ÏÔÌÉÞÎÏÅ ÏÔ ÎÕÌÑ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÅÓÔØ ÐÒÅÄÅÌ ÆÕÎËÃÉÉ
f(x) = sin
1
x
ÐÒÉ x → 0.
1.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÐÒÅÄÅÌÏ×
óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÙÅ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
ÐÒÅÄÅÌÏ×.
åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ lim
x→a
f
1
(x) É lim
x→a
f
2
(x), ÔÏ
lim
x→a
(f
1
(x) + f
2
(x)) = lim
x→a
f
1
(x) + lim
x→a
f
2
(x);
lim
x→a
(f
1
(x) · f
2
(x)) = lim
x→a
f
1
(x) · lim
x→a
f
2
(x);
2                                                   §1. ðÒÅÄÅÌ ÆÕÎËÃÉÉ
h                              i
  x < −C, x ∈ E; |x| > C, x ∈ E ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |f (x) − A| < ε.
                                     x cos x
    ðÒÉÍÅÒ 2. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ lim x2 −10x+100  = 0.
                                   x→+∞
   òÅÛÅÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÕÞ x > 20, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÂÕÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ ÄÁÌØ-
ÎÅÊÛÉÅ ÏÃÅÎËÉ. äÌÑ x > 20 ÉÍÅÅÍ:
                  2                      2            x2
                 x − 10x + 100 > x − 10x = x(x − 10) > ,
                                                      2
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                          x cos x         x     2
                                      <       =   .
                      x2 − 10x + 100    x2 /2 x
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ C = max 20; 2ε , ÔÏ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á x > C ÓÌÅÄÕÅÔ
                             

               x cos x                          x cos x
                          < ε, ÔÏ ÅÓÔØ  lim                = 0.
           x2 − 10x + 100              x→+∞ x2 − 10x + 100

   ðÒÉÍÅÒ 3. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) = sin x1 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÐÒÅÄÅÌÁ ÐÒÉ
x → 0.
   òÅÛÅÎÉÅ. úÁÐÉÛÅÍ Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ¤ÞÉÓÌÏ A
ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÐÒÉ x → a¥:
    ∃ε0 > 0 : ∀δ > ∃xδ = x(δ) : 0 < |xδ − a| < δ, xδ ∈ E, |f (xδ ) − A| > ε0.
                                  1               1
åÓÌÉ A = 0, ÔÏ ×ÏÚØÍ¾Í ε0 =       2   É xk =   2πk+π/2 ,   ÔÏÇÄÁ
         ∀δ > 0∃k ∈ N : 0 < xk < δ É |f (xk ) − 0| = |f (xk | = 1 > ε0 ,
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÕÌØ ÎÅ ÅÓÔØ ÐÒÅÄÅÌ f (x) = sin x1 ÐÒÉ x → 0. åÓÌÉ ÖÅ A 6= 0,
ÔÏ ×ÏÚØÍ¾Í ε0 = |A|        1
                 2 É xk = 2πk . ôÏÇÄÁ
            ∀δ > 0∃k ∈ N : 0 < xk < δ É |f (xk ) − A| = |A| > ε0,
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, É ÌÀÂÏÅ ÏÔÌÉÞÎÏÅ ÏÔ ÎÕÌÑ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÅÓÔØ ÐÒÅÄÅÌ ÆÕÎËÃÉÉ
f (x) = sin x1 ÐÒÉ x → 0.

1.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÐÒÅÄÅÌÏ×

  óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÙÅ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
ÐÒÅÄÅÌÏ×.
  åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ lim f1(x) É lim f2 (x), ÔÏ
                         x→a           x→a

                  lim (f1(x) + f2(x)) = lim f1(x) + lim f2 (x);
                  x→a                          x→a           x→a
                      lim (f1(x) · f2(x)) = lim f1(x) · lim f2(x);
                      x→a                      x→a          x→a

Страницы