Пределы. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

4 §1. ðÒÅÄÅÌ ÆÕÎËÃÉÉ
ðÒÉÍÅÎÑÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÐÒÅÄÅÌÅ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ, ÐÏÌÕÞÉÍ
lim
x→4π
y
1
(x) = 2π, lim
x→4π
y
2
(x) = lim
y
1
→2π
sin y
1
= 0,
lim
x→4π
y
3
(x) = lim
y
2
→0
y
2
2
= 0, lim
x→4π
y
4
(x) = lim
y
3
→0
(1 + y
3
) = 1,
lim
x→4π
y
5
(x) = lim
y
4
→1
√
y
4
= 1, lim
x→4π
y
6
(x) = lim
y
5
→1
(1 + y
5
) = 2,
lim
x→4π
ln
1 +
r
1 + sin
2
x
2
= lim
x→4π
y
7
(x) = lim
y
6
→2
ln y
6
= ln 2.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÐÒÅÄÅÌÅ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ
ÆÕÎËÃÉÉ f(x) × ÔÏÞËÅ x = a ÎÅÌØÚÑ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÐÒÅ-
ÄÅÌÁ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÐÒÉ x → a. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ lim
x→a
f(x) = A, lim
t→t
0
x(t) =
= a É lim
t→t
0
f(x(t)) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ×ÅÒÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï lim
t→t
0
f(x(t)) = lim
x→a
f(x) = A,
ÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ f(x(t)) ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÐÒÅÄÅÌÏ×
ÆÕÎËÃÉÊ f(x) É x(t).
ðÕÓÔØ a ¡ ÔÏÞËÁ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÐÒÑÍÏÊ (ÔÏ ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ÉÌÉ ÏÄÉÎ
ÉÚ ÓÉÍ×ÏÌÏ× +∞, −∞, ∞). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ U(a) ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ a: ÅÓÌÉ
a ¡ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ U(a) ¡ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ a; ÅÓÌÉ a = +∞, ÔÏ U(a) ¡
ÌÀÂÏÊ ÌÕÞ x > α; ÅÓÌÉ a = −∞, ÔÏ U(a) ¡ ÌÀÂÏÊ ÌÕÞ x < α; ÅÓÌÉ a = ∞, ÔÏ
U(a) ¡ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÌÕÞÅÊ: {x > α} ∪ {x < α}. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
‘
U(a)
ÐÒÏËÏÌÏÔÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ a:
‘
U(a) = U(a)\{a}.
1.3. âÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
æÕÎËÃÉÑ f(x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ ÐÒÉ x → a, ÅÓÌÉ ÄÌÑ
ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ C ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ U(a) ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ
|f(x)| > C ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x ∈
‘
U(a) ∩E (E ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ
f(x)).
úÁÍÅÎÑÑ × ÜÔÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |f(x)| > C ÎÁ f(x) > C (f(x) <
< C) ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ (ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÊ) ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ
ÂÏÌØÛÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÐÒÉ x → a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ
(ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ, ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ)
ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ:
lim
x→a
f(x) = ∞
lim
x→a
f(x) = +∞, lim
x→a
f(x) = −∞
.
óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ.
4                                                              §1. ðÒÅÄÅÌ ÆÕÎËÃÉÉ

ðÒÉÍÅÎÑÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÐÒÅÄÅÌÅ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ, ÐÏÌÕÞÉÍ

    lim y1(x) = 2π,      lim y2 (x) = lim sin y1 = 0,
    x→4π                x→4π           y1 →2π

                lim y3 (x) = lim y22 = 0, lim y4 (x) = lim (1 + y3 ) = 1,
              x→4π            y2 →0       x→4π         y3 →0
                                   √
               lim y5 (x) = lim y4 = 1, lim y6 (x) = lim (1 + y5 ) = 2,
              x→4π           y4 →1         x→4π         y5 →1
                                    r          
                                              x
                         lim ln 1 + 1 + sin2      = lim y7 (x) = lim ln y6 = ln 2.
                        x→4π                  2      x→4π        y6 →2

   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÐÒÅÄÅÌÅ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ
ÆÕÎËÃÉÉ f (x) × ÔÏÞËÅ x = a ÎÅÌØÚÑ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÐÒÅ-
ÄÅÌÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÐÒÉ x → a. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ lim f (x) = A, lim x(t) =
                                                           x→a             t→t0
= a É lim f (x(t)) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ×ÅÒÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï lim f (x(t)) = lim f (x) = A,
       t→t0                                             t→t0         x→a
ÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ f (x(t)) ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÐÒÅÄÅÌÏ×
ÆÕÎËÃÉÊ f (x) É x(t).
   ðÕÓÔØ a ¡ ÔÏÞËÁ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÐÒÑÍÏÊ (ÔÏ ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ÉÌÉ ÏÄÉÎ
ÉÚ ÓÉÍ×ÏÌÏ× +∞, −∞, ∞). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ U (a) ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ a: ÅÓÌÉ
a ¡ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ U (a) ¡ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ a; ÅÓÌÉ a = +∞, ÔÏ U (a) ¡
ÌÀÂÏÊ ÌÕÞ x > α; ÅÓÌÉ a = −∞, ÔÏ U (a) ¡ ÌÀÂÏÊ ÌÕÞ x < α; ÅÓÌÉ a = ∞, ÔÏ
U (a) ¡ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÌÕÞÅÊ: {x > α} ∪ {x < α}. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ U‘ (a)
ÐÒÏËÏÌÏÔÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ a: U‘ (a) = U (a)\{a}.


1.3. âÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ

    æÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ ÐÒÉ x → a, ÅÓÌÉ ÄÌÑ
ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ C ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ U (a) ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ
|f (x)| > C ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x ∈ U‘ (a) ∩ E (E ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ
f (x)).
    úÁÍÅÎÑÑ × ÜÔÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |f (x)| > C ÎÁ f (x) > C (f (x) <
< C) ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ (ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÊ) ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ
ÂÏÌØÛÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
    õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÐÒÉ x → a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ
(ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ, ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ)
ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ:
                                                             
             lim f (x) = ∞    lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞ .
               x→a               x→a                x→a

    óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ.

Страницы