Пределы. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§1. ðÒÅÄÅÌ ÆÕÎËÃÉÉ 3
ÅÓÌÉ lim
x→a
f
2
(x) 6= 0, ÔÏ
lim
x→a
f
1
(x)
f
2
(x)
=
lim
x→a
f
1
(x)
lim
x→a
f
2
(x)
;
ÅÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÏËÏÌÏÔÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x = a ÉÍÅÅÍ
f
1
(x) 6 g(x) 6 f
2
(x) É lim
x→a
f
1
(x) = lim
x→a
f
2
(x) = A, ÔÏ lim
x→a
g(x) = A.
ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ lim
x→2
(x
3
+ 3x
2
+ 4x − 5).
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑÍÉ Ï ÐÒÅÄÅÌÅ ÓÕÍÍÙ É ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ
lim
x→2
(x
3
+ 3x
2
+ 4x − 5) = 2
3
+ 3 · 2
2
+ 4 · 2 − 5 = 23.
ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ lim
x→−2
x
2
−1
x
3
−2x+1
.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑÍÉ Ï ÐÒÅÄÅÌÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÏÌÕÞÁÅÍ,
ÞÔÏ
lim
x→−2
x
2
− 1
x
3
− 2x + 1
=
lim
x→−2
(x
2
− 1)
lim
x→−2
(x
3
− 2x + 1)
=
(−2)
2
− 1
(−2)
3
− 2 · (−2) + 1
=
3
−3
= −1.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÂÕÄÅÍ ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) É ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ a ÉÚ Å¾ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÐÒÁ-
×ÅÄÌÉ×Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ lim
x→a
f(x) = f (a).
ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÅÌÏ× ÞÁÓÔÏ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÐÒÅ-
ÄÅÌÅ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ: ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ lim
t→t
0
x(t) = a, ÔÏ
lim
t→t
0
f(x(t)) = f
lim
t→t
0
x(t)
= f (a).
ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ lim
x→4π
ln
1 +
q
1 + sin
2
x
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÐÉÛÅÍ ÃÅÐÏÞËÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ:
y
1
=
x
2
, y
2
= sin y
1
, y
3
= y
2
2
, y
4
= 1 + y
3
,
y
5
=
√
y
4
, y
6
= 1 + y
5
, y
7
= ln y
6
.
§1. ðÒÅÄÅÌ ÆÕÎËÃÉÉ                                                                                     3

ÅÓÌÉ lim f2(x) 6= 0, ÔÏ
     x→a

                                         f1(x) x→alim f1(x)
                                     lim        =           ;
                                     x→a f2 (x)   lim f2(x)
                                                      x→a

ÅÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÏËÏÌÏÔÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x = a ÉÍÅÅÍ

     f1 (x) 6 g(x) 6 f2(x) É lim f1 (x) = lim f2(x) = A, ÔÏ lim g(x) = A.
                                     x→a               x→a                     x→a

   ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ lim (x3 + 3x2 + 4x − 5).
                              x→2
  òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑÍÉ Ï ÐÒÅÄÅÌÅ ÓÕÍÍÙ É ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ

               lim(x3 + 3x2 + 4x − 5) = 23 + 3 · 22 + 4 · 2 − 5 = 23.
               x→2

                                      x2 −1
   ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ lim             x 3 −2x+1 .
                              x→−2
  òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑÍÉ Ï ÐÒÅÄÅÌÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÏÌÕÞÁÅÍ,
ÞÔÏ

         x2 − 1        lim (x2 − 1)        (−2)2 − 1        3
                      x→−2
   lim 3          =                  =                    =   = −1.
  x→−2 x − 2x + 1   lim (x3 − 2x + 1) (−2)3 − 2 · (−2) + 1 −3
                          x→−2

   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÂÕÄÅÍ ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ a ÉÚ Å¾ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÐÒÁ-
×ÅÄÌÉ×Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ lim f (x) = f (a).
                              x→a
   ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÅÌÏ× ÞÁÓÔÏ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÐÒÅ-
ÄÅÌÅ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ: ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ lim x(t) = a, ÔÏ
                                                                        t→t0
                                                               
                          lim f (x(t)) = f           lim x(t)       = f (a).
                          t→t0                       t→t0

                             q          
                                     2 x
   ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ lim ln 1 + 1 + sin 2 .
                              x→4π
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÐÉÛÅÍ ÃÅÐÏÞËÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ:
        x
 y1 =     ,   y2 = sin y1 ,      y3 = y22 ,   y4 = 1 + y 3 ,
        2                                               √
                                                  y5 = y 4 ,           y6 = 1 + y 5 ,   y7 = ln y6 .

Страницы