Пределы. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

6 §2. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ
Á) lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0 (ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
0
0
);
Â) lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = ∞ (ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
∞
∞
).
2. lim
x→a
(f(x) · g(x)) :
lim
x→a
f(x) = 0, lim
x→a
g(x) = ∞ (ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ [0 · ∞]).
3. lim
x→a
(f(x) − g(x)) :
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = ∞ (ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ [∞ − ∞]).
÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ, ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÒÅ-
ÄÅÌÁ - ¤ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ¥ - ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×Ù×ÁÀÔ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÔÁË,
ÞÔÏÂÙ ÐÏÌÕÞÉÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÅÇÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ. äÌÑ ÔÁËÉÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ
ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÉÌÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÌÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÉ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÉ x → a (ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÅÊ).
æÕÎËÃÉÑ f(x) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÆÕÎËÃÉÉ g(x) ÐÒÉ x → a (f (x) ∼ g(x) ÐÒÉ
x → a), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ α(x), ÞÔÏ f(x) = α(x)g(x), ÇÄÅ
α(x) → 1 ÐÒÉ x → 0.
óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÅÊ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ (×ÅÚ-
ÄÅ ÐÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ x → a).
1. åÓÌÉ f (x) ∼ g(x), ÔÏ g(x) ∼ f(x).
2. åÓÌÉ f (x) ∼ g(x) É g(x) ∼ h(x), ÔÏ f(x) ∼ h(x).
3. åÓÌÉ f (x) ∼ g(x) É h(x) ∼ s(x), ÔÏ f(x) · h(x) ∼ g(x) · s(x).
4. åÓÌÉ lim
x→a
f(x) = k, ÔÏ f(x) ∼ k.
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (Ä×Á ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÐÒÅÄÅÌÁ):
lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1.
÷ ÄÒÕÇÏÊ ÚÁÐÉÓÉ:
sin x ∼ x ÐÒÉ x → 0, e
x
− 1 ∼ x ÐÒÉ x → 0.
ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ x → 0:
1 − cos x = 2 sin
2
x
2
∼
x
2
2
, tg x =
sin x
cos x
∼ x,
arcsin x ∼ sin(arcsin x) = x, ln(1 + x) ∼ e
ln(1+x)
− 1 = x.
ó×ÅÄ¾Í ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÅ É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÉÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ × ÔÁÂÌÉÃÕ.
6                          §2. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ

          Á) lim f (x) = lim g(x) = 0 (ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ 00 );
                                                                 
             x→a         x→a                                      ∞
          Â) lim f (x) = lim g(x) = ∞ (ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ∞     ).
            x→a            x→a
     2. lim (f (x) · g(x)) :
          x→a
          lim f (x) = 0, lim g(x) = ∞ (ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ [0 · ∞]).
          x→a              x→a
     3. lim (f (x) − g(x)) :
          x→a
          lim f (x) = lim g(x) = ∞ (ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ [∞ − ∞]).
          x→a           x→a

   ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ, ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÒÅ-
ÄÅÌÁ - ¤ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ¥ - ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×Ù×ÁÀÔ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÔÁË,
ÞÔÏÂÙ ÐÏÌÕÞÉÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÅÇÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ. äÌÑ ÔÁËÉÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ
ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÉÌÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÌÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÉ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÉ x → a (ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÅÊ).
   æÕÎËÃÉÑ f (x) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÆÕÎËÃÉÉ g(x) ÐÒÉ x → a (f (x) ∼ g(x) ÐÒÉ
x → a), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ α(x), ÞÔÏ f (x) = α(x)g(x), ÇÄÅ
α(x) → 1 ÐÒÉ x → 0.
   óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÅÊ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ (×ÅÚ-
ÄÅ ÐÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ x → a).
     1.   åÓÌÉ   f (x) ∼ g(x), ÔÏ g(x) ∼ f (x).
     2.   åÓÌÉ   f (x) ∼ g(x) É g(x) ∼ h(x), ÔÏ f (x) ∼ h(x).
     3.   åÓÌÉ   f (x) ∼ g(x) É h(x) ∼ s(x), ÔÏ f (x) · h(x) ∼ g(x) · s(x).
     4.   åÓÌÉ   lim f (x) = k, ÔÏ f (x) ∼ k.
                 x→a

    óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (Ä×Á ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÐÒÅÄÅÌÁ):

                                 sin x            ex − 1
                              lim      = 1,   lim        = 1.
                              x→0 x           x→0    x

÷ ÄÒÕÇÏÊ ÚÁÐÉÓÉ:

                       sin x ∼ x ÐÒÉ x → 0,   ex − 1 ∼ x ÐÒÉ x → 0.

ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ x → 0:

                                      x x2
                                      2               sin x
                    1 − cos x = 2 sin   ∼ , tg x =           ∼ x,
                                      2    2          cos x
             arcsin x ∼ sin(arcsin x) = x, ln(1 + x) ∼ eln(1+x) − 1 = x.

    ó×ÅÄ¾Í ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÅ É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÉÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ × ÔÁÂÌÉÃÕ.

Страницы