Пределы. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

12 §2. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ
0
0
. ôÁË ËÁË lim
x→0
3
√
1 + 2x = 1
É lim
x→0
7
√
1 − 3x = 1, ÔÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÔÏÑÝÅÅ × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ × ×ÉÄÅ
3
√
1 + 2x −
7
√
1 − 3x =
3
√
1 + 2x − 1 + 1 −
7
√
1 − 3x
É ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÓÕÍÍÕ ÐÒÅÄÅÌÏ×:
lim
x→0
3
√
1 + 2x −
7
√
1 − 3x
8
√
1 + x − 1
= lim
x→0
3
√
1 + 2x − 1
8
√
1 + x − 1
+ lim
x→0
1 −
7
√
1 − 3x
8
√
1 + x − 1
=
= lim
x→0
1
3
· 2x
1
8
· x
+ lim
x→0
1
7
· 3x
1
8
· x
=
16
3
+
24
7
=
184
21
.
ïÞÅÎØ ÞÁÓÔÏ ÐÒÉ ÒÁÂÏÔÅ Ó ÆÕÎËÃÉÑÍÉ ×ÉÄÁ:
ln g(x) É (g(x))
m
− 1, ÇÄÅ lim
x→a
g(x) = 1,
ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ
g(x) = (g(x) −1) + 1 = t(x) + 1, ÇÄÅ t(x) = g(x) − 1 É lim
x→a
t(x) = 0.
ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ln g(x) ∼ g(x) − 1 É (g(x))
m
− 1 ∼ m · (g(x) − 1), ÇÄÅ lim
x→a
g(x) = 1.
ðÒÉÍÅÒ 18. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim
x→0
sin
2
3x
√
1+x sin x−cos x
.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ
0
0
. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ,
ÓÔÏÑÝÅÅ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ, × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÕÌÑ.
√
1 + x sin x − cos x = cos x ·
r
1 + x sin x
cos
2
x
− 1
!
.
÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÔÏÑÝÅÅ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ ËÏÒÎÑ, ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë 1:
1+x sin x
cos
2
x
→ 1 ÐÒÉ
x → 0. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ
1 + x sin x
cos
2
x
= 1 +
1 + x sin x
cos
2
x
− 1
= 1 +
1 + x sin x − cos
2
x
cos
2
x
.
ïÔÓÀÄÁ É ÉÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
r
1 + x sin x
cos
2
x
− 1 ∼
1
2
·
1 + x sin x − cos
2
x
cos
2
x
=
1
2
·
sin
2
x + x sin x
cos
2
x
.
12                     §2. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ
                                                             √
   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 00 . ôÁË ËÁË lim 3 1 + 2x = 1
                                              
     √                                                   x→0
É lim 7 1 − 3x = 1, ÔÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÔÏÑÝÅÅ × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ × ×ÉÄÅ
  x→0
               √
               3
                         √           √                 √
                 1 + 2x − 7 1 − 3x = 3 1 + 2x − 1 + 1 − 7 1 − 3x
É ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÓÕÍÍÕ ÐÒÅÄÅÌÏ×:
      √
      3
                √               √
                                3
                                                             √
        1 + 2x − 7 1 − 3x         1 + 2x − 1          1 − 7 1 − 3x
  lim     √8
                          = lim √               + lim √            =
  x→0        1+x−1          x→0 8 1 + x − 1       x→0 8 1 + x − 1
                                        1              1
                                        3
                                           · 2x           · 3x 16 24 184
                                  = lim 1       + lim 71       =   +   =    .
                                    x→0
                                         8  · x    x→0
                                                        8  · x   3   7   21

     ïÞÅÎØ ÞÁÓÔÏ ÐÒÉ ÒÁÂÏÔÅ Ó ÆÕÎËÃÉÑÍÉ ×ÉÄÁ:
                    ln g(x) É (g(x))m − 1, ÇÄÅ lim g(x) = 1,
                                               x→a

ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ
      g(x) = (g(x) − 1) + 1 = t(x) + 1, ÇÄÅ t(x) = g(x) − 1 É lim t(x) = 0.
                                                               x→a

ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
      ln g(x) ∼ g(x) − 1 É (g(x))m − 1 ∼ m · (g(x) − 1), ÇÄÅ lim g(x) = 1.
                                                               x→a
                                                2
   ðÒÉÍÅÒ 18. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim √1+xsin  sin
                                                3x
                                                x−cos x
                                                        .
                                     x→0        0
   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0 . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ,
ÓÔÏÑÝÅÅ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ, × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÕÌÑ.
                                            r               !
             √                                1 + x sin x
              1 + x sin x − cos x = cos x ·               −1 .
                                                  cos2 x

÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÔÏÑÝÅÅ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ ËÏÒÎÑ, ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë 1: 1+x       sin x
                                                           cos2 x   → 1 ÐÒÉ
x → 0. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ
                                               1 + x sin x − cos2 x
                                        
        1 + x sin x        1 + x sin x
                    = 1+               −1 = 1+                      .
          cos2 x             cos2 x                   cos2 x
ïÔÓÀÄÁ É ÉÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
    r
                           1 + x sin x − cos2 x    1 sin2 x + x sin x
                                               
      1 + x sin x      1
                  −1∼ ·                           = ·                 .
        cos2 x         2          cos2 x           2      cos2 x

Страницы