Пределы. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ 11
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ
0
0
. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ, ÓÔÏ-
ÑÝÕÀ × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ, × ×ÉÄÅ
4
x
− 64 = 4
x
− 4
3
=
4
x
4
3
− 1
· 4
3
= 4
3
·
4
x−3
− 1
.
æÕÎËÃÉÑ 4
x−3
− 1 = 4
t(x)
− 1, ÇÄÅ t(x) = x − 3 É lim
x→3
t(x) = lim
x→3
(x − 3) = 0,
ÏÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ 4
x−3
− 1 ∼ (x − 3) ln 4 ÐÒÉ x → 3. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÅÄÅÌ
lim
x→3
4
x
− 64
x − 3
= lim
x→3
4
3
· ln 4 · (x − 3)
x − 3
= 4
3
· ln 4.
ðÒÉÍÅÒ 14. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim
x→0
4
x
−10
x
3
x
−7
x
.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ
0
0
. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ,
ÓÔÏÑÝÅÅ × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ: 4
x
− 10
x
=

4
10
x
− 1
· 10
x
. ìÅÇËÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉ
x → 0
4
10
x
− 1 ∼ x ln
4
10
. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÔÏÑÝÅÅ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ:
3
x
− 7
x
=

3
7
x
− 1
· 7
x
É ÐÒÉ x → 0
3
7
x
− 1 ∼ x ln
3
7
. ðÏÌÕÞÉÍ
lim
x→0
4
x
− 10
x
3
x
− 7
x
= lim
x→0

4
10
x
− 1
· 10
x

3
7
x
− 1
· 7
x
= lim
x→0
x · ln
4
10
· 10
x
x · ln
3
7
· 7
x
=
=
ln
4
10
ln
3
7
· lim
x→0
10
x
7
x
=
ln
4
10
ln
3
7
=
ln
2
5
ln
3
7
.
ðÒÉÍÅÒ 15. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim
x→0
3
√
1+2x−1
x
.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ
0
0
. æÕÎËÃÉÑ, ÓÔÏÑÝÁÑ × ÞÉ-
ÓÌÉÔÅÌÅ
3
√
1 + 2x−1 ∼ (2x)·
1
3
, ÔÁË ËÁË lim
x→0
t(x) = lim
x→0
2x = 0, ÏÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ
lim
x→0
3
√
1 + 2x − 1
x
= lim
x→0
1
3
· 2x
x
=
2
3
.
ðÒÉÍÅÒ 16. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim
x→0
7
x/2
−1
ln(1+3x)
.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ
0
0
. æÕÎËÃÉÑ, ÓÔÏÑÝÁÑ × ÞÉ-
ÓÌÉÔÅÌÅ 7
x/2
− 1 ∼
x
2
ln 7 ÐÒÉ x → 0, Á ÆÕÎËÃÉÑ, ÓÔÏÑÝÁÑ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ
ln(1 + 3x) ∼ 3x, ÐÏÜÔÏÍÕ
lim
x→0
7
x/2
− 1
ln(1 + 3x)
= lim
x→0
x
2
ln 7
3x
=
ln 7
6
.
ðÒÉÍÅÒ 17. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim
x→0
3
√
1+2x−
7
√
1−3x
8
√
1+x−1
.
§2. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ                     11

   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 00 . ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ, ÓÔÏ-
                                              
ÑÝÕÀ × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ, × ×ÉÄÅ
                                x     
                                4
           4x − 64 = 4x − 43 =               3     3     x−3
                                                                 
                                   − 1   · 4   = 4   · 4     − 1   .
                                43
æÕÎËÃÉÑ 4x−3 − 1 = 4t(x) − 1, ÇÄÅ t(x) = x − 3 É lim t(x) = lim(x − 3) = 0,
                                                            x→3         x→3
ÏÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ 4x−3 − 1 ∼ (x − 3) ln 4 ÐÒÉ x → 3. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÅÄÅÌ
                     4x − 64       43 · ln 4 · (x − 3)
                  lim        = lim                     = 43 · ln 4.
                  x→3 x − 3    x→3        x−3
                                                x     x
   ðÒÉÍÅÒ 14. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim 43x−10
                                      −7x
                                          .
                                          x→0                 0
    òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ                    ×ÉÄÁ    0 . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ,
                                               4   x
ÓÔÏÑÝÅÅ ×ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ: 4x − 10x = 10                    − 1 · 10x . ìÅÇËÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉ
                                                       
          4   x               4
x → 0 10         − 1 ∼ x ln 10 . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÔÏÑÝÅÅ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ:
                3 x                                   x
3 − 7 = 7 − 1 · 7 É ÐÒÉ x → 0 73 − 1 ∼ x ln 37 . ðÏÌÕÞÉÍ
 x     x                    x
                

                             4 x                                 4
                                         · 10x                      · 10x
                                      
       4x − 10x             10    −  1                   x · ln 10
   lim             = lim      3 x
                                                 = lim                    =
  x→0 3x − 7x                                        x→0 x · ln 3 · 7x
                                      
                     x→0           − 1   · 7 x
                              7                                   7
                                                            4                   4
                                                        ln 10        10x   ln 10   ln 25
                                                      =        · lim     =        = 3.
                                                         ln 37 x→0 7x       ln 73  ln 7
                                        √3
   ðÒÉÍÅÒ 15. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim 1+2x−1   x   .
                                    x→0        0
   òÅÛÅÎÉÅ.
       √     éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0 . æÕÎËÃÉÑ, ÓÔÏÑÝÁÑ × ÞÉ-
ÓÌÉÔÅÌÅ 1 + 2x−1 ∼ (2x)· 31 , ÔÁË ËÁË lim t(x) = lim 2x = 0, ÏÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ
       3

                                      x→0         x→0
                             √                  1
                                                3 · 2x
                             3
                               1 + 2x − 1               2
                         lim              = lim        = .
                         x→0      x         x→0   x     3
                                                x/2
                                       7 −1
   ðÒÉÍÅÒ 16. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim ln(1+3x) .
                                  x→0
   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 00 . æÕÎËÃÉÑ, ÓÔÏÑÝÁÑ × ÞÉ-
                                              

ÓÌÉÔÅÌÅ 7x/2 − 1 ∼ x2 ln 7 ÐÒÉ x → 0, Á ÆÕÎËÃÉÑ, ÓÔÏÑÝÁÑ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ
ln(1 + 3x) ∼ 3x, ÐÏÜÔÏÍÕ
                                              x
                              7x/2 − 1          ln 7 ln 7
                         lim            = lim 2     =     .
                         x→0 ln(1 + 3x)   x→0 3x      6
                                              √
                                              3
                                                       √
                                                       7
                                                1+2x−    1−3x
   ðÒÉÍÅÒ 17. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ            lim    √8
                                                    1+x−1
                                                              .
                                          x→0

Страницы