Пределы. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ ÓÔÅÐÅÎÎÏ-ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ 13
ðÅÒÅÊÄ¾Í Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÐÒÅÄÅÌÁ.
lim
x→0
sin
2
3x
√
1 + x sin x −cos x
= lim
x→0
(3x)
2
cos x ·
1
2
·
sin
2
x+x sin x
cos
2
x
=
= lim
x→0
cos x · lim
x→0
2 · (3x)
2
sin x(sin x + x)
= 18 · lim
x→0
x
2
x(sin x + x)
= 18 · lim
x→0
x
sin x + x
.
äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÐÒÅÄÅÌÁ ÐÒÉÍÅÎÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×Ï:
ÅÓÌÉ lim
x→a
f(x) = b 6= 0, ÔÏ lim
x→a
1
f(x)
=
1
b
.
îÁÈÏÄÉÍ:
lim
x→0
sin x + x
x
= lim
x→0
sin x
x
+ lim
x→0
x
x
= 1 + 1 = 2.
ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ
lim
x→0
x
sin x + x
=
1
2
É lim
x→0
sin
2
3x
√
1 + x sin x − cos x
= 18 ·
1
2
= 9.
ðÒÉÍÅÒ 19. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim
x→∞
x ln
3x−1
3x−6
.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ [0 · ∞]. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ
ln
3x−1
3x−6
. ôÁË ËÁË lim
x→∞
3x−1
3x−6
= 1, ÔÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÔÏÑÝÅÅ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ
ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ, × ×ÉÄÅ
3x − 1
3x − 6
= 1 +
3x − 1
3x − 6
− 1
= 1 +
5
3x − 6
= 1 + t(x),
ÇÄÅ lim
x→∞
t(x) = lim
x→∞
5
3x − 6
= 0.
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
ln
3x − 1
3x − 6
= ln
1 +
5
3x − 6
∼
5
3x − 6
.
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÅÄÅÌ:
lim
x→∞
x ln
3x − 1
3x − 6
= lim
x→∞
x ·
5
3x − 6
=
5
3
.
§3. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ ÓÔÅÐÅÎÎÏ-ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎË-
ÃÉÉ
óÔÅÐÅÎÎÏ-ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÉÄÁ (u(x))
v(x)
,
u(x) > 0.
§3. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ ÓÔÅÐÅÎÎÏ-ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ                             13

ðÅÒÅÊÄ¾Í Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÐÒÅÄÅÌÁ.
           sin2 3x                      (3x)2
 lim √                   = lim                2           =
 x→0  1 + x sin x − cos x x→0 cos x · 12 · sin cos
                                                x+x sin x
                                                  2x

                        2 · (3x)2                    x2                     x
  = lim cos x · lim                  = 18 · lim              = 18 · lim           .
    x→0         x→0 sin x(sin x + x)        x→0 x(sin x + x)        x→0 sin x + x

äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÐÒÅÄÅÌÁ ÐÒÉÍÅÎÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×Ï:
                                                  1    1
                ÅÓÌÉ lim f (x) = b 6= 0, ÔÏ lim       = .
                     x→a                    x→a f (x)  b
îÁÈÏÄÉÍ:
                 sin x + x       sin x       x
                  lim      = lim       + lim = 1 + 1 = 2.
             x→0     x       x→0 x       x→0 x
ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ
                   x       1                     sin2 3x              1
           lim           =         É   lim √                    = 18 · = 9.
           x→0 sin x + x   2           x→0  1 + x sin x − cos x       2
                                       3x−1
  ðÒÉÍÅÒ 19. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim x ln 3x−6 .
                                           x→∞
   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ [0 · ∞]. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ
  3x−1              3x−1
ln3x−6 .
       ôÁË ËÁË lim 3x−6  = 1, ÔÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÔÏÑÝÅÅ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ
               x→∞
ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ, × ×ÉÄÅ
                          
  3x − 1        3x − 1                5
         = 1+           −1 =1+             = 1 + t(x),
  3x − 6        3x − 6              3x − 6
                                                                 5
                                           ÇÄÅ lim t(x) = lim         = 0.
                                                x→∞        x→∞ 3x − 6

óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
                                             
                     3x − 1              5           5
                  ln        = ln 1 +            ∼        .
                     3x − 6            3x − 6     3x − 6
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÅÄÅÌ:
                                   3x − 1             5    5
                        lim x ln          = lim x ·       = .
                        x→∞        3x − 6 x→∞       3x − 6 3

§3. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÅÌÁ ÓÔÅÐÅÎÎÏ-ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎË-
    ÃÉÉ
   óÔÅÐÅÎÎÏ-ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÉÄÁ (u(x))v(x) ,
u(x) > 0.

Страницы