Моделирование и анализ случайных процессов. Прохоров С.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

14
()
[]
()
[
]
,txgSlimtX
jd
d ∞→
=Θ
(В.1)
где Θ - измеряемая вероятностная характеристика;
S
d
- оператор идеального усреднения;
d - параметр усреднения (время T, совокупность реализаций N или время и сово-
купность реализаций TN );
g - оператор, представляющий собой преобразования, лежащие в основе опреде-
ления вероятностной характеристики Θ;
x
j
(t) - j-ая реализация случайного процесса .
В зависимости от вида усреднения получаем следующие вероятностные харак-
теристики:
1. При усреднении по совокупности:
()
[]
()
[]
∑
=
∞→
=Θ
N
1j
j
N
txg
N
1
limtX
. (В.2)
2. При усреднении по времени:
()
[]
()
[]
∫
∞→
=Θ
T
0
j
T
.dttxg
T
1
limtX (В.3)
3. При усреднении по времени и совокупности:
()
[]
()
[]
∑
∫
=
∞→
∞→
=Θ
N
1j
T
0
j
T
N
.dttxg
NT
1
limtX (В.4)
На практике исследователь имеет дело с ограниченной совокупностью выбо-
рочных данных (результатов измерения). Результат определения значения вероятно-
стной характеристики по ограниченной совокупности выборочных данных носит на-
звание оценки:
()
[]
()
[]
txgStX
€
jd
=Θ (j = 1, 2 ...N). (В.5)
К основным свойствам оценок относятся несмещенность, состоятельность и
эффективность.
Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно ис-
тинному значению оцениваемой характеристики:
M[
Θ
€
[X(t)]] = Θ[X(t)]. (В.6)
При невыполнении равенства оценка будет смещенной.
Оценка называется состоятельной, если при бесконечном увеличении объема
выборочных данных она сходится по вероятности к истинному значению оценивае-
мой характеристики:
lim
d→∞
P(|Θ
€
[X(t)]
−Θ[X(t)]| < ε) = 1 (В.7)
при любом ε.
При невыполнении этого условия оценка будет несостоятельной.
Эффективными называются оценки, дисперсия которых минимальна.
Следует подчеркнуть, что свойства оценок, которые описываются несмещенно-
стью, состоятельностью и эффективностью, тесно связаны с характером ошибок, ко-
торые определяются методами математической статистики [3].
Таким образом, при ограниченном наборе выборочных данных выражения
(В.2)-(В
.4) при анализе случайных процессов примут вид:

Страницы