ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
44
0b...bba...aa
k21k21
=
−
−−−+++ . (4.31)
Вид суммы ряда
()
ω
jW
2,k
позволяет перейти к более общей комбинаторной
схеме: работе с комбинаторными числами. Под комбинаторными числами понимают
перечисления различных множеств комбинаторных объектов. Различные элементы в
перечисляемом множестве могут быть неравноценны, что приводит к назначению ве-
сов, в общем случае различных, на множестве отображений и вычислению сумм этих
весов на каких - либо подмножествах
исходного множества. Тогда операцию нахож-
дения таких сумм называют взвешенными перечислениями (перечисления с весами).
В частном случае считающих весов, равных единице на каждом элементе - обычное
перечисление - имеем дело с биномиальными коэффициентами.
Многие комбинаторные числа – частные случаи элементов обобщенного тре-
угольника. Известно, как строится треугольник Паскаля. Число сочетаний
k
n
C
опре-
деляют как решение разностного уравнения
k
1n
1k
1n
k
n
CCC
−
−
−
+= , ∞= ,1n ,
1n,0k −=
. (4.32)
Обобщения производят, дополняя различными способами разностное уравне-
ние. По аналогии с построением треугольника Паскаля строят обобщенный треуголь-
ник на основании рекуррентного соотношения [10]:
()
)k,1n(V1k,1nV)k,n(V
k.n1k,n
−
+
−−=
−
α
β
. (4.33)
Величины
k,n
α
и
k,n
β
- весовые коэффициенты.
()
()
()
∑∑
=
−
=
−+==
n
0k
1n
0k
k,nk,nn
k,1nVk,nVV
βα
. (4.34)
Однако иногда оказывается полезной и следующая интерпретация элементов
обобщенного треугольника Паскаля. Полагая, что
0
)
n,n
(
V
≠
, ∞= ,0n зафиксируем
значение параметра
n и построим нормированную последовательность элементов n -
ой строки:
)n,n(V
)n,n(V
,...,
)n,n(V
)1,n(V
,
)n,n(V
)0,n(V
. (4.35)
Пусть
()
∑
=
=
n
0k
k
n
xk,nV
)n,n(V
1
)x(P
, (4.36)
где
1n,n1,n0,n
,...,,
−
μ
μ
μ
- корни многочлена )x(P
n
, взятые с противоположным знаком.
Тогда
n
k
B
)n,n(V
)k,n(V
=
, (4.37)
где
n
k
B - обобщенные числа Стирлинга 1-ого рода, строящиеся при каждом фиксиро-
ванном
n на базе
{}
1n
0m
m,n
−
=
μ
.
В свою очередь, биномиальные коэффициенты получаются из (4.33) при значе-
ниях
1V
0
= , 1
k,nk,n
==
β
α
; ∞= ,1n , n,0k = .
Если же
1V
0
= , 1
k,n
=
β
, а
1nk,n −
=
μ
α
; ∞= ,1n , n,0k = , то имеем рекуррент-
ное соотношение для обобщенных чисел Стирлинга 1-ого рода:
1n
k1n
1n
1k
n
k
BBB
−
−
−
−
+=
μ
. (4.38)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
