Составители:
5
Для получения случайных чисел следует воспользоваться вначале
функцией randomize(), задающей начальное число. Равномерно распре-
деленные целые числа получаются функцией random(RAND_MAX) в ин-
тервале [0, RAND_MAX], где RAND_MAX = 32767. Равномерно распре-
деленные вещественные числа из интервала [0, 1] можно получить, ис-
пользуя выражение r = (float)random(RAND_MAX)/RAND_MAX.
Для проверки равномерности последовательности случайных
чисел {r
i
} можно воспользоваться следующими оценками:
среднего значения
1
1
0,5
=
==
∑
N
i
i
rr
N
и дисперсии
2
1
1
1/3,
=
==
∑
N
Ri
i
Dr
N
где N – количество чисел.
В данной работе предусмотрено изучение случайных величин,
распределенных по нормальному закону. Способ преобразования
равномерно распределенных чисел в числа с нормальным распреде-
лением базируется на использовании центральной предельной тео-
ремы теории вероятностей [2]: пусть Х
1
, Х
2
, …, Х
n
– последователь-
ность взаимно независимых случайных величин с одинаковым рас-
пределением, где каждая Х
i
имеет математическое ожидание а и
среднее квадратическое отклонение σ, тогда при n→∞ сумма Х =
= Х
1
+ Х
2
+ …+ Х
n
имеет асимптотически нормальное распределение с
математическим ожиданием а
n
= n·a и средним квадратическим от-
клонением
σ=σn (при этом дисперсия D
n
n
= σ
n
2
).
Для равномерно распределенной в интервале [0, 1] случайной
величины
R математическое ожидание а = 1/2 и среднее квадратиче-
ское отклонение
1/(2 3)σ= . Если выбрать в качестве слагаемых
случайные равномерно распределенные числа r
i
, получим следую-
щие характеристики:
1
.
n
/2,
23
=σ=
nn
an
6
12
'
1=
=
На практике можно получить достаточное приближение к нор-
мальному распределению при n = 5÷6, но для удобства вычислений
положим n = 12. Тогда для суммы
∑
ij
j
x
r
'
1
6.
=
характеристики а
n
= 6 и σ
n
= 1, при этом дисперсия D
n
= σ
n
2
= 1 (та-
кое нормальное распределение называется нормированным). Путем
центрирования математического ожидания придем к стандартному
нормальному распределению с характеристиками а
n
= 0 , σ
n
= 1 и
D
n
= 1 со значениями, вычисляемыми по формуле:
12
=
−
∑
ij
j
xr
'
.
(1)
График стандартного нормального распределения на декартовой
плоскости с координатными осями (Х, Y) имеет вид колоколообраз-
ной кривой, симметричной относительно оси Y.
Производя обратные операции, из полученной случайной вели-
чины можно получить нормально распределенную случайную вели-
чину с любыми заданными характеристиками (a, σ) со значениями,
вычисляемыми по формуле:
=
σ+
ii
x
xa
(2)
Для оценивания законов распределения случайной величины Х
выборочная совокупность случайных чисел {x
i
} (I = 1, 2, …, n, где n
– объем выборки) должна быть соответствующим образом обрабо-
тана. Одним из способов такой обработки является построение ста-
тистического ряда.
С этой целью весь диапазон наблюдаемых значений величины Х
делится на интервалы (разряды). Шаг h (длина интервала) опреде-
ляется из соотношения
h = (x
max
– x
min
) / k, (3)
где x
max
,
x
min
– соответственно максимальное и минимальное значение x
i
в выборке; k – число интервалов (k = 10÷15). Левая граница 1-го интер-
вала g
0
= x
min
, правая граница k-го (последнего) интервала g
k
= x
max
, гра-
ницы между интервалами g
j
= x
min
+ jh, (j = 1, 2, …, k–1).
По разделенной на разряды выборочной совокупности строится
таблица, которая называется статистическим рядом. Задаются но-
мера разрядов j = 1, 2, …, k; их границы g
j–1
– g
j
; частота m
j
– коли-
чество значений выборки x
i
, приходящихся на j-й разряд; относи-
тельная частота p
j
= m
j
/ n; накопленная частота ∑ p
j
, причем ее зна-
