Составители:
9
Лабораторная работа № 2
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ И АППРОКСИМАЦИЯ
СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Цель работы: по выборке значений статистического распреде-
ления вычислить выборочное среднее значение и дисперсию и, рас-
сматривая их как моменты теоретического распределения случай-
ной величины, по этим параметрам построить выравнивающую кри-
вую на графике гистограммы.
Содержание работы: разработка и отладка программных моду-
лей для вычисления оценок характеристик случайной величины по
выборке
и построение выравнивающей кривой на гистограмме на
основе метода моментов.
2.1. Методические указания к выполнению работы
По имеющейся выборке значений случайной величины Х {x
1
, x
2
,
…, x
n
,} можно вычислить характеристики статистического распре-
деления:
выборочное среднее
1
1
=
=
∑
n
i
i
x
x
n
(4)
и выборочную дисперсию
2
2
2
11
11
.
==
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
nn
Xi
ii
Dx x
n
n
10
i
(5)
Согласно закону больших чисел при неограниченном увеличе-
нии числа наблюдений (объема выборки) эти характеристики будут
приближаться (сходиться по вероятности) к математическому ожи-
данию и дисперсии случайной величины Х.
При ограниченном числе опытов эти величины будут случай-
ными (для разных выборочных совокупностей они будут иметь раз-
ные значения), тем не менее
они могут быть приняты как прибли-
женные оценки характеристик случайной величины Х, вычисленные
на основе данной выборочной совокупности. Поэтому эти выбороч-
ные значения называют также статистическим оценками соответ-
ствующих характеристик случайной величины.
Аналогичным образом могут быть вычислены оценки и других
моментов статистического распределения.
Во всяком статистическом распределении неизбежно присутст-
вуют элементы случайности, связанные с ограниченностью числа
наблюдений и конкретным выбором той или иной совокупности.
Для получения более точных сведений и для последующей
бо-
лее удобной обработки можно выполнить аппроксимацию (вырав-
нивание, сглаживание) статистического распределения путем под-
бора некоторой теоретической кривой, выражающей лишь сущест-
венные черты статистического материала, а не случайности, связан-
ные с недостаточностью объема экспериментальных данных. При
этом, как правило, вид теоретической кривой выбирается заранее из
соображений, связанных с существом задачи.
Выравнивание сводится к рациональному выбору тех значений
параметров, входящих в аналитическое выражение кривой распре-
деления, при которых соответствие между статистическим и теоре-
тическим распределениями оказываются наилучшими.
Для решения этой задачи чаще всего используются метод наи-
меньших квадратов и метод моментов. Рассмотрим метод моментов
как более простой.
Предположим (т.е. примем гипотезу
), что экспериментальные
значения в выборке {x
1
, x
2
, …, x
n
} распределены по нормальному за-
кону, функция плотности которого выражается формулой:
2
2
()
2
1
()
2
xa
fx e
−
−
σ
=
σπ
,
(6)
где параметры: а – математическое ожидание; σ – среднее квадра-
тическое отклонение; σ
2
– дисперсия.
Метод моментов сводится к такому подбору параметров вы-
бранной кривой закона распределения, чтобы несколько важнейших
числовых характеристик (моментов) теоретического распределения
были равны соответствующим статистическим характеристикам.
Для нормального распределения с двумя параметрами – мате-
матическим ожиданием а и дисперсией σ
2
их следует определить
так, чтобы
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
