Элементы теории вероятностей и математической статистики. Пронькин Ю.С - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГТУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

12
Доказательство:
Так как события А и
A
противоположны, то Ω=+
∅
=
⋅
AAAA , и на
основании аксиом 2 и 3 имеем
1)()()(
=
+
=
Ω
APAPP , откуда следует
искомое равенство
)(1)( APAP −= .
2. Вероятность невозможного события равна нулю, то есть 0)( =∅
P
.
Доказательство:
Так как ∅=Ω , то на основании следствия 1 имеем
011)(1)(
=
−
=
Ω
−
=
∅
P
P
.
3. Если событие А влечет за собой событие В, то вероятность события А
меньше или равна вероятности события В, то есть
)()( BPAP
≤
, если
B
⊂
.
Доказательство:
Пусть
B
A
⊂ , тогда )( BAAB += , где
∅
=
)( BAA . Согласно аксиоме 3
имеем
)()()( BAPAPBP += , но 0)( ≥BAP (аксиома 1). Отсюда
)()(
B
P
A
P
≤ .
4. Вероятность события
А есть число, заключенное между нулем и
единицей, то есть
1)(0
≤
≤
A
P
.
Доказательство:
Из соотношения Ω⊂
A
и аксиомы 1 следует )(0
A
P
≤
и 1)()( =Ω≤
P
A
P
,
следовательно, 1)(0
≤
≤
A
P
.
5. Если А и В два произвольных события, которые могут и пересекаться, то
справедливо соотношение
)()()()(
A
B
P
B
P
A
P
B
A
P
−
+
=
+
.
Доказательство:
Представим объединение событий А и В в виде суммы двух
непересекающихся событий
А и
B
A
, то есть
B
A
A
B
A
+
=
+
,
с другой стороны,
)()( BAABB
+
= , где
∅
=
))(( BAAB
Согласно аксиоме 3 имеем
)()()( BAPAPBAP
+
=
+
;
)()()( BAPABPBP
+
=
.
Из последних равенств получаем
)()()()(
A
B
P
B
P
A
P
B
A
P
−
+
=
+ .
Примечание. Аксиомы теории вероятностей были сформулированы в 30 - х
годах 20 столетия академиком Андреем Николаевичем Колмогоровым
(1903 – 1987).
Замечание. Вероятность, как следует из сказанного выше, рассматривается
как функция от случайного события.

Страницы