ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16
Пример 2. Группа студентов из m человек садится в пригородный
электропоезд, насчитывающий
mn ≥
вагонов. Каждый из студентов
выбирает свой вагон случайно и с одинаковой вероятностью оказывается в
любом из вагонов. Какова вероятность того, что все они попадут в разные
вагоны?
Решение. Задача на конечную схему равновозможных исходов. Каждый
студент может выбрать один из n вагонов, поэтому число всех возможных
комбинаций равно
m
n . Благоприятствующие исходы представляют собой
размещения m элементов из n, то есть )1()1( +
−
−
=
mnnnA
m
n
K . Искомая
вероятность определяется формулой
m
n
mnnn
AP
)1)(1(
)(
+
−
−
= .
Замечание. При больших n имеет место асимптотическая формула
Стирлинга
nn
ennn
−
⋅⋅≈
π
2!.
Пример 3. Из урны, содержащей М белых и N - M черных шаров, наудачу
извлекается n шаров. Найти вероятность того, что среди выбранных n
шаров окажется ровно m белых.
Решение. В данной задаче предполагается, что шары хорошо перемешаны,
все они одного радиуса, отличаются только цветом, и выбирающий шаров
не видит. В этом
случае разумно воспользоваться конечной схемой
равновозможных исходов и применить классическое определение
вероятности. За элементарные события естественно принять любые
подмножества по n элементов, выбранные из множества N шаров. Число
таких подмножеств равно
n
N
Ñ .
Каждый набор шаров, входящий в интересующее нас событие
(обозначим его А) состоит из двух частей: 1) m белых шаров и 2) n – m
черных шаров. Все такие наборы можно получить следующим образом.
Сначала выберем части наборов из белых шаров, число их
m
M
Ñ . Затем
отдельно составим части наборов из черных шаров, их число
mn
MN
Ñ
−
−
.
Объединение любой части набора из белых шаров с любой частью набора
из черных шаров дает полный набор шаров, принадлежащий А, количество
его равно
mn
MN
m
M
CÑ
−
−
⋅ . По формуле классической вероятности имеем
),,()( MNmP
C
CÑ
AP
n
n
N
mn
MN
m
M
=
⋅
=
−
−
.
Замечание. В случае nm > предполагается, что 0
=
m
n
Ñ . Набор чисел
K),,,1(),,,0( MNPMNP
nn
называют гипергеометрическим
распределением
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
