Элементы теории вероятностей и математической статистики. Пронькин Ю.С - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГТУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

21
7. Непрерывное вероятностное пространство.
Геометрические вероятности
Рассмотрим эксперимент с бесконечным числом исходов, которые
интерпретируются как выбор наудачу точки из некоторого множества в
n – мерном евклидовом пространстве
n
R . Положим
(
){}
Guuuuu
n
∈
=
=Ω :,,,
21
K ,
где
G – квадрируемая область n – мерного евклидова пространства.
Обозначим
А систему квадрируемых подмножеств области G. Из курса
анализа известно, что сумма, произведение и разность квадрируемых
фигур являются квадрируемыми фигурами. Следовательно,
А является
алгеброй событий.
Пусть
0),,,(
21
≥
n
uuuf K – интегрируемая на области G функция и
интеграл от нее по области
G равен 1.
Вероятностью события
А назовем число Р(А) определяемое формулой
nn
A
duduuuufAP KKK
121
),,,()(
∫∫
= , (7.1)
где в правой части находится
n – кратный интеграл Римана. Используя
свойства интегралов, легко проверяется, что функция
Р(А) удовлетворяет
аксиомам теории вероятностей.
Вместо конечной области
G можно рассматривать все n - мерное
пространство, а интеграл в этом случае понимать как несобственный.
Функцию
Р(А) , определенную на алгебре А, можно продолжить на более
широкую систему множеств, содержащую счетные суммы и произведения
событий. Построенное вероятностное пространство иногда называют
непрерывной вероятностной моделью или непрерывной схемой.
Рассмотрим частный случай общей непрерывной схемы, положив
)(
1
),,,(
21
Gm
uuuf
n
=K
,
если Gu ∈ , и 0),,,(
21
=
n
uuuf K , если Gu
∉
.
В этих соотношениях m(G) – мера области G (площадь или объем). При
таком выборе функции f(u) формула (7.1) запишется в виде
)(
)(
)(
Gm
Am
AP
=
.
Такое определение вероятности называют
геометрическим. Его можно
рассматривать как обобщение классического определения вероятности на
случай экспериментов с бесконечным (несчетным) числом исходов.
Пример. На обслуживающее устройство в промежуток времени [0, T]
должны поступить две заявки. Если разность между моментами

Страницы