Элементы теории вероятностей и математической статистики. Пронькин Ю.С - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГТУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

48
Очевидно, что событие А представляет собой сумму двух
несовместных событий В и С: А = В + С. По теореме сложения
вероятностей имеем: Р(А) = Р(В) + Р(С) или
)()()( bXаPaFbF <≤
+
=
,
откуда
)()()( aFbFbXаP −=<≤
, что и требовалось доказать.
Следствие. Вероятность того, что непрерывная случайная величина
примет заданное значение, равна нулю.
Для доказательства рассмотрим промежуток
[
),
ε
+
àà , который
будем неограниченно уменьшать 0→
ε
. Из свойства 2 функции
распределения следует
0)]()([lim)(lim)(
00
=
−
+
=
+
<
≤
=
=
→→
aFaFaXaPaXP
ε
ε
εε
.
Для непрерывной в точке а функции F(x) этот предел равен нулю. Если же
в точке а функция имеет разрыв, то предел равен значению скачка
функции F (x) в точке а.
Вывод, что вероятность любого отдельного значения непрерывной
случайной величины равна нулю, на первый взгляд кажется
парадоксальным, так как события, вероятность которых
равна нулю,
рассматривались нами как невозможные. Мы же получили, что нулевой
вероятностью обладают не только невозможные, но и возможные события.
Однако этот вывод хорошо согласуется со статистическим определением
вероятности события, по которому частота появления события при
большом числе испытаний не равна, а только приближается к вероятности.
Поэтому равенство нулю вероятности события
означает только, что при
неограниченном повторении испытаний это событие появляется сколь
угодно редко и не означает, что данное событие невозможно.
На основании этого следствия для непрерывной случайной величины
свойство 2 можно записать без включения в рассматриваемый интервал
[
)
ba,
левого его конца
)()()( a
F
b
F
bXa
P
−
=
<
< .
Свойство 3. Функция распределения случайной величины есть
неубывающая функция, то есть
)()(
12
xFxF ≥
при
12
xx ≥ .
Это свойство следует из того, что
0)()()(
2112
≥
<
<
=
− xXxPxFxF
и вероятность события есть неотрицательная величина.
Свойство 4. Функция распределения F(x) стремится к нулю при
неограниченном уменьшении Х и стремится к единице при
неограниченном возрастании Х, то есть
0)()(lim
=
−
∞
=
−∞→
FxF
x
и

Страницы