ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
47
15. Функция распределения вероятностей
Пусть Х – случайная величина, а х – ее допустимое значение.
Предположим, что случайная величина может принимать любые
действительные значения от
∞
−
до
∞
+
.
Это предположение не ограничивает общности, так как изменение
случайной величины в ограниченном интервале значений будет означать,
что вероятность попадания ее в любую область числовой оси вне
указанного интервала равна нулю. В случае дискретной случайной
величины, отличные от нуля вероятности соответствуют конечному или
счетному множеству дискретных точек на числовой оси.
Используем
следующее правило разбиения: фиксируем некоторый
уровень х, и область возможных значений случайной величины делится на
две части. К одной относятся значения Х не превосходящие х, а к другой –
остальные.
Функция
)()(
x
X
P
x
F
≤
=
,
показывающая как зависит от величины выбранного уровня вероятность
того, что значения случайной величины не превосходят этот уровень,
называется
функцией распределения вероятностей (иногда ее называют
интегральной функцией распределения).
Требование, чтобы функция распределения вероятностей F(x)
представляла собой вероятность, накладывает на ее свойства
определенные ограничения.
Свойства функции распределения.
Свойство 1. Функция распределения F(x) есть неотрицательная функция,
заключенная между нулем и единицей:
1)(0
≤
≤
x
F
.
Это свойство вытекает из определения функции F(x) как вероятности
события. Функция распределения, как и всякая вероятность, есть величина
безразмерная.
Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал
[
)
ba, равна разности значений функции распределения на концах этого
интервала
)()()( a
F
b
F
bXa
P
−
=
<
≤ .
Доказательство. Рассмотрим три события: событие А, состоящее в том,
что X < b, событие В, состоящее в том, что X < a, событие С, состоящее в
том, что bXa <≤ . Можно записать, что
)()()( b
F
bX
P
A
P
=
<
=
,
)()()( a
F
aX
P
B
P
=
<
=
,
)()( bXa
P
C
P
<
≤
=
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
