ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
68
Очевидно, что для любого биномиального распределения
расстояние между математическим ожиданием и модой не превосходит
единицы.
Если np – целое число, то математическое ожидание и мода совпадают.
После достижения наивероятнейшего значения m
0
вероятность P
n
(m)
начинает убывать. Распределение асимметрично, за исключением случая,
когда р = 0,5. При р < 0,5 асимметрия положительна, при р > 0,5
асимметрия отрицательна. При увеличении числа испытаний n форма
многоугольника распределения приближается к симметричной и при
крайних значениях р (с ростом n асимметрия и эксцесс стремится к нулю,
что следует из формул (18.12) и (18.13)). Практически график
биномиального распределения
можно считать симметричным при np >= 4.
На рисунке 8 изображены многоугольники распределения при р = 2/3 и n =
3; 5; 10. При возрастании n график биномиального распределения
сдвигается вправо и становится более плоским.
В заключение отметим, что биномиальное распределение широко используется в
теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании
функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и т. д.
18.2. Закон распределения Пуассона
Полезной моделью описания многих физических явлений может
служить закон распределения Пуассона, действующий во многих
практических задачах, относящихся к схеме последовательности большого
числа независимых испытаний (n >>1), когда вероятность появления
события при одиночном испытании относительно мала, однако
произведение np стремится к некоторой положительной постоянной
величине
λ
при
0, →∞→
p
n .
Теорема (Пуассона). Если 0, →
∞
→
p
n , так что
λ
→np причем
∞<<
λ
0, то
λ
λ
λ
−−
=→= e
k
pqpCkp
k
knkk
nn
!
)()(.
Доказательство. Положив
n
np
λ
=
, представим вероятность )(kP
n
в виде
kn
n
k
n
n
nnk
knnn
kP
−
−⋅
+
−
−
= )1()(
!
)1()1(
)(
λ
λ
K
=
k
n
n
n
k
n
nn
k
nnnk
−
−
−
−−−− )1)(
1
1()
2
1)(
1
1()1(
!
λ
λ
λ
K
.
Вычислим пределы сомножителей
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
