Элементы теории вероятностей и математической статистики. Пронькин Ю.С - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГТУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

69
λ
λ
λ
λ
λ
λλλ
−
−
−
∞→
−−
∞→∞→
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+=−
∞→
e
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
)(lim
)(
)(1lim)(1lim)1(lim
(использовали второй замечательный предел
e
x
x
x
=+
∞→
)
1
1(lim ).
1)1(lim)
1
1(lim)
2
1(lim)
1
1(lim =−=
−
−==−=−
−
∞→∞→∞→∞→
k
n
nnnn
nn
k
nn
λ
K .
Таким образом, при 00, →→∞→ qèëè
p
n получим
λ
λ
λ
−
∞→
== e
k
kpp
k
n
n
!
)(lim)(
. Теорема доказана.
Формула
λ
λ
λ
−
= e
k
p
k
!
)(
,
задающая закон распределения Пуассона, описывает число событий k,
происходящих за одинаковые промежутки времени при условии, что
события происходят независимо друг от друга с постоянным параметром
λ
, интерпретируемым как среднее число осуществления интересующего
нас события в единицу времени.
В прикладных расчетах при больших n и малых р используется
приближенная формула
n
e
k
kp
k
n
n
λ
λ
−
≈
!
)(
,
где np
n
=
λ
.
Закон распределения Пуассона используется для описания числа
сбоев автоматической линии или числа отказов сложной системы
(работающих в нормальном режиме) в единицу времени; числа требований
на обслуживание, поступающих в единицу времени в систему массового
обслуживания; числа требований на выплату страховых сумм за год;
статистических закономерностей несчастных случаев и редких
заболеваний и
т. д.
Особенностью этого закона является то, что он может быть использован и
в ситуациях, отклоняющихся от вышеописанной схемы его формирования.
Например, можно допустить, что разные бернуллиевые испытания имеют
разные вероятности осуществления интересующего нас события
n
ppp ,,,
21
K . В этом случае биномиальный закон к такой серии испытаний
применен быть не может, однако выражение
λ
λ
λ
−
= e
k
p
k
!
)( остается

Страницы