Математика в экономике. Пучков Н.П - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4 НАИМЕНЬШЕЕ И НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
Человеку часто приходится решать задачи оптимизации своей деятельности: или при наименьших затратах сил, средств
и материалов получить заданный результат (например, изготовить металлическую емкость заданного объема, израсходовав
наименьшее количество материала), или при заданных исходных данных получить наилучший (максимальный) результат
(например, из данного листа металла изготовить емкость максимального объема).
Если зависимость между исходными и выходными данными задана функцией, то задача формулируется как поиск
наименьшего и наибольшего значения этой функции в заданной области.
В реальных условиях исходные данные имеют ограниченный диапазон изменения, который и определяет эту область.
Рассмотрим, например, задачу: найти стороны х и y прямоугольника, имеющего при данном периметре p максимальную
площадь.
Дано: Пусть S – площадь прямоугольника, тогда
хуS
=
.
Из условия известно, что 2(х + у) = р. Тогда
−=
x
p
xS
2
– функция одной переменной х.
Так как S ≥ 0, то
2
0
р
х
≤≤
и задача ставится следующим образом: найти максимальное значение функции
−=
x
p
xхS
2
)(
на отрезке
2
,0
p
.
Процесс нахождения наименьшего (наибольшего) значения функции на отрезке определяется, во многом, свойствами
самой функции. Так, если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и
наименьшего значения (теорема Вейерштрасса), т.е. решение задачи существует.
Поиск этого решения существенно упрощается, если дополнительно известно, что на этом отрезке функция монотонна:
возрастает при х
2
> х
1
ϕ (х
2
) > ϕ (х
1
) или убывает при х
2
> х
1
ϕ (х
2
) < ϕ (х
1
).
В случае ϕ
(х), возрастающей на [a, b], ϕ (а) будет ее наименьшим, а ϕ (b) – наибольшим значениями; в случае f (х),
убывающей на [a, b], f
(а) – наибольшее, а f (b) – наименьшее значения (рис. 2).
Если же (рис. 3) в точке х
1
∈(а, b) меняется характер монотонности функции: возрастание – на убывание (ϕ (х)) или
наоборот (f
(х)), а других – таких точек нет, то наибольшее и наименьшее значения функции выбираются путем сравнения
значений
)(),(
1
xfaf и )(bf или ϕ (а), ϕ (х
1
) и ϕ (b).
ϕ
(x)
y
)(xf
)(bf
ϕ
(b)
ϕ
(x
2
)
ϕ
(x
1
)
y
ϕ
(
x
)
)(bf
)(
1
xf
)(xf
)(af
(
)
ϕ (b)
ϕ
(x
1
)
)(af

Страницы