Математика в экономике. Пучков Н.П - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 2 Рис. 3
Вообще, если непрерывная функция )(xf имеет на отрезке [а, b] конечное число точек х
1
, х
2
, ..., х
n
, в которых меняется
характер монотонности, то, сравнивая значения функции в этих точках, а также в граничных х = а и х = b, можно
определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a, b].
Точки, в которых меняется характер монотонности, являются так называемыми точками экстремума: максимума,
если при возрастании аргумента возрастание функции меняется на убывание, и минимума, если убывание изменяется на
возрастание. Определить точки, которые будут точками экстремума, можно, используя теорему (необходимое условие
экстремума): если х
0
– точка экстремума для функции )(xf , то производная )(
0
xf
′
или равна нулю, или не существует.
Достаточным же условием экстремума является смена знака производной в окрестности точки х
0
, где )(
0
xf
′
= 0 или
не существует. При смене знака с "+" на "–" х
0
– точка максимума, если наоборот, то минимума.
В подавляющем большинстве практических экономических задач точка экстремума на отрезке, где исследуется
функция, одна, поэтому, определив ее характер (минимум или максимум), мы одновременно определим точку, где
функция принимает, соответственно, наименьшее или наибольшее значения.
Пример. Исследуется функция
2
)2( −= xy на отрезке [0, 3].
Решение. Найдем производную y' = 2
(х – 2); y' = 0 при х = 2.
При х < 2 y' < 0, при х > 2 у' > 0, поэтому х = 2 – точка минимума и функция
2
)2( −= xy достигает в этой точке
наименьшего значения.
Действительно, сравнивая значения
)0(f = (0 – 2)
2
= 4, )2(f = (2 – 2)
2
= 0 и )3(f = (3 – 2)
2
= 1, определяют, что в точке
х = 2 функция достигает наименьшего значения.
Подытожив все теоретические выдержки, можно наметить схему решения задач на наибольшее и наименьшее
значения:
1)
построить математическую модель задачи (найти функцию )(xf );
2)
определить отрезок [a, b], исходя из условий задачи;
3)
найти точки х
1
, ..., х
n
интервала (а, b), в которых производная функции равна нулю или не существует;
4)
вычислить значения )(),(...,),(),(
1
bfnfxfaf , сравнить и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Примеры решения задач
Задача 1. Какими должны быть размеры жестяной консервной банки заданного объема V, чтобы затраты металла на ее
изготовление были минимальными?
Определить, на что должна быть ориентирована технология изготовления банок, чтобы быть рентабельной.
Решение. При изготовлении банки заданного объема V оптимальными будут такие ее размеры, при которых на ее
изготовление пойдет минимальное количество материала, т.е. площадь полной поверхности банки S должна быть
минимальной.
Пусть банка представляет собой прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания r. Тогда S = 2πr
2
+ 2πrh.

Страницы