Математика в экономике. Пучков Н.П - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В
Дорога
Поле
Рис. 4
По условию х > 0, поэтому 0)( =
′
хС только в одной точке х = х
0
= 0,5. При переходе через эту точку )(хС
′
меняет знак с
«минуса» на «плюс» и поэтому х
0
= 0,5 – точка минимума функции С (х).
Таким образом, оптимальные (в смысле минимума затрат при заданном объеме) размеры бака таковы: длина ребра
основания – 0,5 м, высота –
25,0/25,0/
2
== xVh
= 1 м.
Определяем, что
С
(0,5) = 101441
25,0
25,0
5,0
2
5,0825,04 =+++=++⋅+⋅ д. е.
Задача 3. Требуется оградить прямоугольный участок земли площадью 400 м
2
. Определите оптимальные размеры
участка, при которых затраты на ограду будут наименьшими (предполагается, что стоимость ограды пропорциональна ее
длине).
Решение. Найдем прямоугольник площадью 400 м
2
, в котором периметр наименьший. Пусть х > 0 – длина одной
стороны прямоугольника, тогда длина смежной с ней стороны равна
х
400
. Периметр прямоугольника
Р
(х) = 2
+
х
х
400
,
где 0 < x < ∞.
Найдем производную
Р'
(х) = 2
−
2
400
1
х
, х ∈(0, +∞).
Определим критические точки функции P
(x):
).20 ,20(0
400
120)(
2
−==⇔
=
−⇒=
′
хх
х
хР
Так как х > 0, то рассматриваем только х = 20.
80
20
400
202)20( =
+=Р
.
Функция Р
(х) при 0 < x < ∞ непрерывна и Р (х) → ∞, если х → 0 или х → ∞, поэтому Р (20) – минимальное значение Р
(х).
Длина другой стороны прямоугольника также равна 20. Из условия задачи известно, что стоимость ограды N
(х)
пропорциональна ее длине, N
(х) = kР (х). Следовательно, N (х) получит наименьшее значение тогда, когда Р (х) имеет
наименьшее значение, откуда N
opt
(х) = min N (х) = k80 при х = 20.
Задачи для самостоятельной работы
4.1 Для посадки ценных культур нужно выделить участок прямоугольной формы, площадь которого S га.
Какие размеры должен иметь участок, чтобы затраты на постройку ограды вокруг него были наименьшими?
Необходимо разработать модель решения задачи и провести анализ на конкретных данных (S = 5,76).
4.2 Спортплощадку площадью S га, имеющую форму прямоугольника, необходимо оградить с севера и юга
деревянным забором, с востока и запада – проволочным. Установка 1 м деревянного забора обходится в 15 д. е.,
проволочного – в 6 д. е. На строительство выделено 3600 д. е.
Достаточно ли этой суммы, если S = 0,9 га?
4.3 Прямоугольную площадку земли в S м
2
требуется огородить и разделить на три равные части, параллельно одной
из сторон площадки.
Каковы должны быть размеры сторон площадки, чтобы на постройку забора пошло наименьшее количество материала?
Разработать математическую модель решения задачи и проанализировать ее при S = 512 м
2
.
4.4 На странице текст должен занимать 384 см
2
. Верхние и нижние поля должны быть по K см, правое и левое – по 2
см.
Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
4.5 Из пункта В (рис. 4), расположенного в поле, автоколонна возит зерно в пункт С. Скорость машин по полю 30 км/ч,
по дороге 60 км/ч. Сколько времени сэкономит автоколонна из 50 машин, если выберет наиболее выгодный вариант, по
сравнению с вариантами:
а) В → А → С, б) В → С, где ВА = 9 км, АС = 12 км?

Страницы