Математика в экономике. Пучков Н.П - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4.21 В математической модели экономического роста хозяйства, производящего некоторый продукт для потребления и
увеличения запасов основных фондов, Р (ежегодное потребление продукта на душу занятых в производстве) и х (число
занятых в производстве рабочих) связаны функциональной зависимостью
,
)(
)(
x
bхМх
хР
−
−
=
где М, b – постоянные, характеризующие производственные возможности хозяйства. При М = 250, b = 8464 определите
число рабочих, соответствующее наибольшему значению Р
(х) в хозяйствах с 80, 90, 120 и 150 рабочими местами.
4.22 Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема 144 м
3
. Стоимость квадратного метра
материала, идущего на изготовление дна бака, равна 200 д. е., а стенок 2000 д. е.
Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?
4.23 Пункты А и В, находящиеся на расстоянии 500 км, связывает железная дорога. Завод N расположен в 10 км от
пункта В. Для доставки продукции завода N в пункт А строится шоссе NР до пункта Р, находящегося на линии железной
дороги. Стоимость перевозки груза по шоссе вдвое больше, чем по железной дороге.
К какому пункту Р нужно подвести шоссе, чтобы доставка груза из N в А была наименее дорогой?
4.24 Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого кругового конуса заданной вместимости V =
14,14 м
3
.
Каковы должны быть размеры конуса (высота Н и радиус основания R), чтобы на шатер ушло наименьшее количество
полотна?
4.25 Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым основанием и вертикальной боковой поверхностью
заданного объема V = 25 м
3
.
Каковы должны быть линейные размеры ямы (радиус R и высота Н), чтобы на облицовку ее дна и боковой поверхности
пошло наименьшее количество материала?
5 МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Методы линейного программирования состоят в нахождении наибольшего и наименьшего значений линейной функции
нескольких переменных при заданных в виде линейных неравенств ограничениях для данных переменных.
Рассмотрим метод на примере функции двух переменных.
Дана функция F
(х
1
, х
2
) = Ах
1
+ Вх
2
, и дополнительно известно, что переменные х
1
и х
2
удовлетворяют системе неравенств
≥+
≥+
≥+
.
...
;
;
221
22212
12111
cxbxa
cxbxa
cxbха
nn
Требуется найти такие пары (х
1
, х
2
), при которых F принимает наибольшее (наименьшее) значение.
С геометрической точки зрения каждое линейное уравнение вида ах
1
+ bх
2
= с на плоскости ОХ
1
Х
2
определяет
прямую, а неравенство ах
1
+ bх
2
> с – одну из полуплоскостей, на которые прямая ах
1
+ by
1
= с делит плоскость ОХ
1
Х
2
.
Поэтому система неравенств – результат пересечения полуплоскостей (их общая часть). В зависимости от условий это может
быть замкнутая область (часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией – многоугольником) или неограниченная
многоугольная область.
Существует доказательство, что если в плоскости ОХ
1
Х
2
перемещаться в направлении вектора
{}
BAN ,=
(перпендикулярного прямой Ах
1
+ Вх
2
= С), то значения функции F (х
1
, х
2
) = Ах
1
+ Вх
2
, будут увеличиваться (в
противоположном направлении – уменьшаться).
Пусть на плоскости ОХ
1
Х
2
дана прямая l: Ах
1
+ Вх
2
= С, а
{
}
BAN ,= ⊥ l (рис. 5). Выберем на прямой l точку М
0
(а
0
, b
0
), а вне
прямой – точку М
1
(а
1
, b
1
). Находясь в одной полуплоскости, вектора N и
10
MM образуют острый угол
α
, поэтому их
скалярное произведение
(
)
.0 ,
10
>MMN
В координатной форме это условие запишется в виде: А (а
1
– а
0
) + + В (b
1
– b
0
) > 0 или Аа
1
+ Вb
1
> Аа
0
+ Вb
0
, но
Аа
1
+ Вb
1
= F (а
1
, b
1
), а Аа
0
+ Вb
0
= = F (а
0
, b
0
) и, следовательно, F (а
1
, b
1
) > F (а
0
, b
0
), т.е. значение функции F, подсчитанное
в произвольной точке, взятой в направлении вектора
,N больше, чем значение F в точке М
0
.
X
2
b
0
М
0
М
1
(а
1
, b
1
)
N
α

Страницы