Математика в экономике. Пучков Н.П - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Построим область допустимых значений переменных х и y (рис. 7). Система х ≥ 0, y ≥ 0 задает первый
квадрант координатной плоскости, неравенство 15х + 16y ≤ 62 – полуплоскость, расположенную под прямой 15х + 16y = 62,
включая саму эту прямую; неравенство 5x + 8y ≤ 26 –полуплоскость, расположенную под прямой 5x + 8y = 26, включая саму
эту прямую.
Рис. 7
Таким образом получаем, что множество точек, удовлетворяющее всем четырем неравенствам, – четырехугольная
область ОМ
1
М
2
М
3
.
Координаты вершин О
(0, 0), М
1
(0, 3,25), М
2
(2, 2), М
3
(62/15, 0) находятся как координаты точек пересечения
соответствующих прямых путем решения систем:
=
=+
=+
=+
=+
=
=
=
.0
;621615
;2685
;621615
;2685
;0
;0
;0
y
yx
yx
yx
yx
x
y
х
Имеем:
.
3
1
41
3
124
06
15
62
10)(
;3226210)(
;5,19
2
39
25,36010)(
;006010)(
3
2
1
==⋅+⋅=
=⋅+⋅=
==⋅+⋅=
=
⋅
+
⋅
=
MF
MF
MF
ОF
Очевидно, что наибольшее значение, равное ,
3
1
41 достигается функцией F в точке М
3
.
Если данную задачу решать при условии, что переменные х и y могут принимать только целочисленные значения, то
алгоритм решения будет выглядеть следующим образом.
Сначала найдем допустимое множество решений задачи – множество точек (х, у), удовлетворяющих системе
≥≥
≤+
≤+
0 ,0
;2685
;621615
ух
ух
ух
и условию, что х и у – целые числа.
Очевидно, что 0 ≤ х ≤ 4, 0 ≤ у ≤ 3. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что допустимое множество решений
задачи образуют точки: А
0
(0, 0), А
1
(0, 1), А
2
(0, 2), А
3
(0, 3), В
1
(1, 0), В
2
(1, 1), В
3
(1, 2), С
1
(2, 0), С
2
(2, 1), С
3
(2, 2), D
1
(3, 0), D
2
(3, 1),
E
1
(4, 0). Всего их 13. Подсчет значений целевой функции во всех этих точках и выбор из них наибольшего несложен. Однако
возможен и другой путь решения.
Отложим от точки А
0
(0, 0) (рис. 8) вектор
{
}
6 ,10=N и будем двигать прямую l, перпендикулярную ,N в направлении
этого вектора. Последней из обозначенных точек, через которую пройдет прямая, будет E
1
(4, 0). В этой точке целевая
функция достигает максимального значения E
1
(4, 0) = .4006410
=
⋅
+
⋅
M
1
1
Х
Y
O
M
2
1 2 3 4 5
2
5х + 8y = 26
15x + 16y = 62
М
3
Y
4
l
A
N
15х + 16у = 62

Страницы