ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Найдем соотношение между h и r, при котором площадь полной поверхности будет наименьшей.
Так как
2
2
то,
r
V
hhrV
π
=π=
и тогда
r
V
rrS
2
2)(
2
+π= – функция одной переменной r. Очевидно, что область
определения и непрерывности функции S есть интервал (0; +∞), а не отрезок, поэтому ответа на вопрос о существовании
решений мы дать не можем (не выполнены условия теоремы Вейерштрасса). Однако попробуем воспользоваться указанной
выше схемой, заменив вычисление значений функции на концах отрезка исследованием ее поведения на границах области
определения.
Очевидно, что при r → 0 и при r → +∞ функция
S
(r) → +∞. (1)
Найдем производную функции S:
2
2
4)(
r
V
rrS
−π=
′
. Производная )(rS
′
существует во всех точках интервала (0, +∞) и
обращается в нуль в единственной точке
3
2π
=
V
r
из этого интервала. Поэтому S может менять характер монотонности
только при r = r
1
=
3
2π
V
. С учетом соотношений (1) заключаем, что в этой точке S имеет наименьшее значение.
При
1
rr =
.2
2
2
4
4
)2(
1
33
3
2
3
3
2
2
2
1
r
VV
V
V
V
V
r
V
h =
π
=
π
=
π
=
π
π
=
π
=
Следовательно, если процесс изготовления жестяных банок технологией ориентирован на то, что высота банки в два
раза больше радиуса оснований, то при заданном объеме банки ее полная поверхность будет наименьшей и такую
технологию можно считать самой рентабельной (по затратам металла).
Задача 2
. Необходимо наладить производство металлических баков заданного объема V, имеющих форму
прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием; верхнее основание имеет отверстие с крышкой. Каждый бак
изготовляется из прямоугольных листов металла путем их сварки по краям. Известно, что стоимость сварки шва составляет
Р
1
д. е. за один погонный метр, а цена металлических листов – Р
2
д. е. за квадратный метр. Найти функцию, выражающую
зависимость стоимости бака от его размеров (при заданном объеме) и ее минимальное значение (минимальные расходы на
изготовление бака), если V = 0,25 м
3
; Р
1
= 1; Р
2
= 2.
Решение. Пусть х (м) – длина ребра в основании бака, тогда при заданном объеме V его высота равна
2
x
V
, а площадь
поверхности (количество квадратных метров металла, затраченного на изготовление) равна:
.
4
2)( или 42)(
2
2
2
x
V
xxS
x
V
xxxSS +=+==
Сумма длин всех ребер (общая длина сварных швов) равна:
2
48)(
x
V
xxll
+== .
При таких данных стоимость изготовления одного бака выражается функцией:
.
4
2
4
8)()()(
2
2
2
2
1
121
x
VP
xP
x
VP
xPxSPxlPxC
+++=+=
Это и есть функция, выражающая зависимость стоимости бака от его размеров (длины ребра основания при заданном
объеме V).
При V = 0,25 м
2
, Р
1
= 1 д. е., Р
2
= 2 д. е. эта функция имеет вид
2
2
25,02
84)(
х
х
хххС
+++= .
Для нахождения минимальных расходов на изготовление бака заданного объема решаем задачу: для целевой функции С
(х), х > 0 найти точку х = х
0
, в которой она принимает наименьшее значение и подсчитать это значение.
Таким образом будет определено и технологическое задание на изготовление баков – его оптимальные (в смысле
минимума затрат) размеры.
Найдем производную
)(хС
′
:
.
2
1
2
18
2
1
4
18
4
1
4
18
4
1
16
18
16
1
4
85,02
88)(
3
3
2
2
3
22
3
24
3
34
332
+
−=
+
−=
++
−=
=
−+−=
−−+=−−+=
′
хх
х
хх
х
ххх
х
ххх
х
х
хх
ххх
ххС
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
