Неопределенный интеграл. Пучков Н.П - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1.
(
)
∫
++=+
Cxxdxx
32
13
. Проверка
(
)
13
23
+=
′
++
xCxx
.
2.
∫
+=
+
Cx
x
dx
2arctg
41
2
2
. Проверка
( )
2
41
2
arctg2x
x
+
=
.
3.
∫
+
+
=
++
C
x
x
xx
dx
1
arctg
122
2
.
Проверка:
122
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
1
1
arctg
2222
2
2
++
=
++
=
+
−+
⋅
+
+
=
′
+
+
xxxxx
xx
x
x
C
x
x
.
4.
∫
++=
++
Cx
xx
dx
)12(arctg
122
2
.
Проверка:
( )
122
1
2
)12(1
1
)12(arctg
22
++
=⋅
++
=
′
++
xxx
Cx
.
Сравнивая результаты нахождения одного и того же интеграла в примерах 3 и 4, замечаем их различие.
Приравнивать ответы в этих примерах, в буквальном смысле при одном и том же значении
С
:
CxC
x
x
++=+
+
)12(arctg
1
arctg
нельзя, тогда
0)12(arctg
1
arctg =+−
+
x
x
x
,
хотя на самом деле
4
1arctg
1
)12(
1
1
12
arctg
1
arctg)12(arctg
π
==
+
+
+
+
−+
=
+
−+
x
xx
x
x
x
x
x
x
,
т.е. разность первообразных в примерах 3 и 4 есть отличное от нуля постоянное число (что соответству-
ет свойству первообразных одной и той же функции). Поэтому равенство интегралов можно рассматри-
вать не при фиксированных значениях постоянной
С
, а на множестве её всевозможных значений (с точ-
ностью до произвольного слагаемого).
Вывод. Если полученный Вами результат интегрирования не совпадает с ответом, указанным в задач-
нике, не огорчайтесь, Ваш результат может быть верным. Достаточно сделать проверку, чтобы убедить-
ся в правильности Вашего решения.
При нахождении производных от функций таких «разночтений» быть не может.
Необходимо знать ещё два существенных различия между операциями нахождения производной и ин-
тегрирования.
1. Производная от элементарной функции
∗
всегда есть функция элементарная; интеграл же от элемен-
тарной функции может не являться элементарной функцией
∗∗
. Существуют различные классы так назы-
ваемых специальных функций. Например, интегральный синус, интегральный логарифм, эллиптические
функции, с которыми вы можете при необходимости познакомиться в других учебниках.
∗
Элементарные функции – класс функций, состоящий из
многочленов,
степенных функций, рациональных функций,
показательных функций, логарифмич
еских функций, триго-
нометрических функций и обратных тригонометрических
енных
выше с помощью чет
ырёх арифметических действий и супер-
позиций (образование сложной функции), применённых к
о-
нечное чи
сло раз: например,
x
e
y
x
5tg
1
3
2
−
=
,
x
exy
lnαα
==
и т.д.
∗
∗
В школьном курсе математики учащиеся (и учителя) имеют
д
ело только с функциями элементарными, поэтому могло соз-
даться впечатление, что математика не нуждается ни в каких
других функциях. Ошибочность этого мнения выясняется,

Страницы