Высшая математика. Пучков Н.П. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦИЯ 1
Функции нескольких переменных. Основные понятия: предел,
непрерывность, частные производные, дифференциалы
Определение 1.1. Если каждой точке
)...,,,(
21 n
xxxM множества
D
n-мерного пространства по некоторому закону по-
ставлено в соответствие определенное действительное число
z
, то говорят, что на множестве
D
определена функция )(Мz
точки М или функция от
n переменных
n
xxx ...,,,
21
: )...,,,(
21 n
xxxfz
=
. Множество
D
называется областью определения
(существования) функции.
В частном случае, при
2=n .
Определение 1.2. Если каждой точке
),( yxM множества D плоскости OXY соответствует определенное действи-
тельное число
z
, то говорят, что на множестве D определена функция двух независимых переменных
x
и y :
)(),,( Mfzyxfz == .
С понятием функции двух переменных мы встречаемся: в геометрии – если
x
– ширина, y – длина прямоугольника, то
xyyxfz == ),( – его площадь, )(2),( yxyxz +=
ϕ
= – его периметр; в экономике – если
K
– производственные фонды, L –
трудозатраты, то
),( LKfY = – двухфакторная производственная функция.
Как и функцию одной переменной
),( yxfz = можно задать в виде таблицы, графика, аналитически, описательно (сло-
весно). Графиком функции двух переменных является поверхность в пространстве как множество точек координатного про-
странства (
z
y
x
,, ). Например, cbyaxz ++= – плоскость,
22
yxz +=
– параболоид вращения.
Определение 1.3. Пусть функция
),( yxfz = определена в некоторой окрестности точки ),(
000
yxM
*
, кроме, может
быть, самой точки
0
M . Число
A
называется пределом функции ),( yxfz
=
в точке ),(
000
yxM , если для любого 0>
ε
су-
ществует такое
0>δ , зависящее только от
, что для всех точек ),( yxM , координаты которых удовлетворяют условию
22
0
2
0
)()(0 δ<−+−< yyxx , выполняется неравенство ε<− Ayxf ),( :
),(lim
0
0
yxfA
yy
xx
→
→
=
.
Основные свойства пределов функции одной переменной сохраняются и для пределов функции многих переменных.
Определение 1.4. Пусть
),( yxfz = определена в некоторой области D плоскости XOY и ),(
000
yxM и ),( yxM при-
надлежат этой области. Если
),(),(lim
00
0
0
yxfyxf
yy
xx
=
→
→
, то ),( yxf называется непрерывной в точке ),(
000
yxM .
Определение 1.5. Полным приращением функции
),( yxfz
=
в точке ),(
000
yxM называется разность значений этой
функции в точках
),(
00
yyxxM
∆
+∆+ и
0
M .
),(),(
0000
yxfyyxxfz
−
∆
+
∆
+
=
∆ ,
где
x∆ и y∆ – приращения аргументов.
Условие непрерывности в точке
0
M теперь можно определить в виде 0lim
0
0
=
∆
→∆
→∆
z
y
x
.
Пример 1.1.
yxz
2
= , тогда, выбрав точки ),( yxM и ),(
1
yyxxM
∆
+
∆
+
, принадлежавшие области определения
функции
z
, имеем:
+∆∆+∆∆+∆+∆+=−∆+∆+=∆ yxyxxyxxyxyxyxyyxxz
22222
22)()(
yxyxxxyyxxxyyxyx ∆∆+∆∆+∆+∆+∆=−∆+
22222
22 .
При
0→∆x и
0→∆y
z
∆
всюду стремится к нулю, следовательно
yxz
2
=
всюду непрерывна.
Определение 1.6. Частными приращениями
z
x
∆ и
z
y
∆
функции ),( yxfz
=
в точке ),(
000
yxM по переменной
x
и по
переменной
y называются
),(),(),,(),(
00000000
yxfyyxfzyxfyxxfz
yx
−∆+=∆−∆+=∆
.
Для функции
yxz
2
= , рассмотренной в примере 1.1:
*
Например, множество точек, удовлетворяющих условию
22
0
2
0
)()(0 δ<−+−< yyxx
.

Страницы