Высшая математика. Пучков Н.П. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 1.3. Если ),( yxfz = дифференцируема в точке ),(
000
yxM , то при малых x
∆
и y∆ справедливо приближен-
ное равенство
dzz ≅∆ , откуда
y
y
yxz
x
x
yxz
yxfyyxxf ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+≅∆+∆+
),(),(
),(),(
0000
0000
.
Эта формула дает алгоритм применения дифференциала в приближенных вычислениях.
Пример 1.3. Вычислить приближенно
22
)97,2()05,4( + . Искомое число будем рассматривать как значение функции
22
),( yxyxf += при xxx ∆+=
0
, yyy ∆+=
0
, если 03,0,05,0,3,4
00
−
=
∆
=
∆
=
=
yxyx . Имеем: 534)3,4(
22
=+=f ;
22
),(
yx
yyxx
yxdf
+
∆+∆
= : 022,0)3,4( =df .
Следовательно,
.022,5022,05)97,2()05,4(
22
=+≅+
Лекция 2
Функции двух переменных. Дифференцирование сложных и
неявно заданных функций. Производная по направлению, градиент. Частные производные и дифференциалы высших поряд-
ков
Пусть функции
)(txx = и )(tyy
=
дифференцируемы в точке
0
t , а функция ),( yxfz
=
дифференцируема в точке
),(
000
yxM , где )(
00
txx = , )(
00
tyy = . Тогда сложная функция от
t
(
)
)(),()( tytxftFz
=
=
определена в некоторой окрест-
ности точки
0
t и имеет в этой точке производную
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
∂
∂
+
∂
∂
=
. (2.1)
Если функция
y неявно зависит от
x
, и задана уравнением
0),(
=
yxF , (2.2)
где
)(xyy = , то, используя правило (2.1) продифференцируем равенство (2.2) по
x
: 0=
∂
∂
+
∂
∂
dx
dy
y
F
dx
dx
x
F
, откуда
y
yxF
x
yxF
dx
dy
y
x
∂
∂
∂
∂
−==
′
),(
),(
, если 0
),(
≠
∂
∂
y
yxF
.
Если
),(),,( vuyyvuxx == дифференцируемы в точке ),(
000
vuN , а ),( yxfz
=
дифференцируема в точке ),(
000
yxM ,
где
),(
000
vuxx = , ),(
000
vuyy = , то имеют место частные производные сложной функции
)),(),,((),( vuyvuxfvuFz ==
;
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
;
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
.
Если функция
z
неявно зависит от
x
и от y и задана уравнением 0),,(
=
zyxF , то его дифференцирование по
x
и по
y :
0=
′′
+
′′
+
′′
xzxyxx
zFyFxF и 0=
′′
+
′′
+
′′
yzyyyx
zFyFxF .
Учитывая, что
0
'
=
x
y и 0
'
=
y
x , то
z
zyxF
x
zyxF
x
z
z
x
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
=
′
),,(
),,(
;
z
zyxF
y
zyxF
y
z
z
y
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
=
′
),,(
),,(
.
Пример 2.1. Найти частные производные функции z, заданной уравнением
03232
333
=+−−++ xxyzzyx ;
;
33
33
2
2
2
2
xyz
yzx
xyz
yzx
x
z
−
−
−=
−
−
−=
∂
∂
xyz
xzy
y
z
33
236
2
2
−
−−
−=
∂
∂
.
Производная по направлению.

Страницы