Высшая математика. Пучков Н.П. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 2.1
Пусть на плоскости XOY (рис. 2.1)
заданы точки
),(
000
yxM и
),(
00
yyxxM ∆+∆+ . Обозначим через
α
и β углы, которые вектор MMS
0
=
образует с положительными направле-
ниями координатных осей
(
)
2
π
=
β
+
α
.
Тогда
}cos,{cos
||
0
βα==
S
S
n
– единич-
ный вектор, задающий направление
от точки
0
M к M. Приращение
yyxxyxy
y
z
x
x
z
z ∆∆∆ε+∆∆∆ε+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆ ),(),(
21
(см. определение 1.8).
Обозначим расстояние
22
0
yxSMM ∆+∆=∆= . Очевидно, что при 0→
∆
x и
0→
∆
y
0→∆S ; справедливо и обрат-
ное.
Имеем
S
y
yx
S
x
yx
S
y
y
z
S
x
x
z
S
z
∆
∆
∆∆ε+
∆
∆
∆∆ε+
∆
∆
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
=
∆
∆
),(),(
21
.
Так как
β=
∆
∆
α=
∆
∆
cos;cos
S
y
S
x
и
0),(lim),(lim
2
0
1
0
=
∆
∆
ε
=∆∆ε
→∆→∆
yxyx
SS
, то β
∂
∂
+α
∂
∂
=
∆
∆
→∆
coscoslim
0
y
z
x
z
S
z
S
.
S
z
S
∆
∆
→∆ 0
lim называют производной функции ),( yxfz = в точке ),(
000
yxM в направлении вектора S и обозначают
S
z
∂
∂
.
Выражение
β
∂
∂
+α
∂
∂
coscos
y
z
x
z
можно представить как результат скалярного произведения векторов с координатами
∂
∂
∂
∂
y
z
x
z
, и
{}
βα= cos,cos
0
n .
Определение 2.1. Градиентом функции ),( yxfz = в точке ),(
000
yxM называется вектор с координатами
yxz
∂
∂
),(
00
и
y
yxz
∂
∂
),(
00
. Этот вектор обозначается так: ),(grad
00
yxz .
Таким образом:
()
==
∂
∂
∧
000
,gradcosgrad,grad nznznz
S
z
. Если направление
zgrad совпадает с
0
n , то
z
S
z
grad=
∂
∂
максимальное значение производной по направлению.
Таким образом, если в точке
),(
000
yxM градиент функции существует, то он указывает направление максимального из-
менения функции.
Определение 2.2. Частными производными второго порядка функции ),( yxfz
=
называются соответствующие част-
ные производные от частных производных. Это
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
y
z
yy
z
xx
z
yx
z
x
z
,,,
. Частные производные
∂
∂
∂
∂
x
z
x
и
∂
∂
∂
∂
y
z
y
называются повторными производными функции
),( yxfz
=
по переменным
и y соответственно; частные про-
изводные
∂
∂
∂
∂
y
z
x
и
∂
∂
∂
∂
x
z
y
называются смешанными частными производными второго порядка.
Частные производные второго порядка обозначают так:
),();,(
""
2
""
2
2
yxfz
xy
z
x
z
y
yxfz
x
z
x
z
x
xyxyxxxx
==
∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
==
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
;
),();,(
""
2
2
""
2
yxfz
y
z
y
z
y
yxfz
yx
z
y
z
x
yyyyyxyx
==
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
==
∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
.
Аналогичным образом можно определить производные третьего (и более высокого) порядка.
Существует доказательство утверждения, что если ),(
"
yxf
xy
и ),(
"
yxf
yx
непрерывны в некоторой точке ),(
000
yxM , то
они равны в этой точке.
y
y
0
y
0
+∆
y
x
0
x
0
+∆x
M
0
β
α
x
M

Страницы