Высшая математика. Пучков Н.П. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦИЯ 3
Экстремумы функции двух переменных. Необходимые условия
экстремума. Достаточное условие экстремума. Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции. Условный экстремум
ФДП
1. Пусть функция ),( yxfz = определена и непрерывна в некоторой окрестности точки ).,(
000
yxM
Определение 3.1. Точка
0
M называется точкой локального максимума (минимума) функции ),( yxf , если существует
такая окрестность точки
0
M , в которой для любой точки ),( yxM выполняется неравенство
()
),(),(),(),(
0000
yxfyxfyxfyxf >< .
Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума (или просто точка-
ми экстремума).
Согласно такому определению локального экстремума полное приращение функции
),(),(
00
yxfyxfz −=
∆
удовлетво-
ряет одному из условий в окрестности точки
0
M :
0<∆z , если
0
M – точка локального максимума;
0>∆z , если
0
M – точка локального минимума.
Пример 3.1.
22
yxz += , очевидно, что 0≥z и 0
=
z в точке )0,0(
0
M . В то же время
()()
=−−∆++∆+=∆
2
0
2
0
2
0
2
0
yxyxxxz
() ()
=−∆++−∆+=
2
0
2
0
2
0
2
0
yyyxxx
()
(
)
yxyxxx
∆
+
∆+∆+
∆
00
22 .
Если
0
00
== yx , то ;0
22
>∆+∆=∆ yxz считаем ∆х > 0 и ∆y > 0.
Таким образом,
)0,0(
0
M – точка локального минимума.
Пример 3.2.
.)2()1(1
22
+−−−= yxz Очевидно, что в точке )2,1(
0
−
M
1=
z
– максимальное значение функции.
()
(
)
()( )
[
]
2
0
2
0
2
0
2
0
211211 +−−−−
+∆+−−∆+−=∆ yxyyxxz .
При
2,1
00
−== yx :
(
)
(
)
011
2222
<∆+∆−=−∆−∆−=∆ yxyxz .
2. Необходимые условия существования локального экстремума.
Теорема 3.1. Если функция
),( yxf имеет частные производные первого порядка в точке локального экстремума
),(
000
yxM , то
.0)()(
0
'
0
'
== MfMf
yx
Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки
0
M , в которых все частные производные первого порядка
равны нулю и
0)(grad
0
=Mf
.
Как и в случае функции одной переменной, такие точки называются стационарными; для функции
),( yxf их можно
найти, решив систему уравнений:
=
′
=
′
.0),(
;0),(
yxf
yxf
y
x
Возвратимся к примерам 3.1 и 3.2. Пусть
22
yxz += , тогда
yzxz
yx
2;2 =
′
=
′
. Имеем
=
=
,02
;02
y
x
следовательно (0, 0) –
стационарная точка.
2. Если
22
)2()1(1 +−−−= yxz , то
)2(2),1(2 +⋅−=
′
−⋅−=
′
yzxz
yx
. Имеем
=+⋅−
=−⋅−
,0)2(2
;0)1(2
y
x
следовательно, )2,1(
−
–
стационарная точка.
Пример 3.3. Найти стационарные точки функции
yxxyxz 12153
23
−−+=
.
Имеем систему
=−=
′
=−+=
′
,0126
;01533
22
xyz
yxz
y
x
или
=
=+
.2
;5
22
xy
yx
Решив систему, найдем стационарные точки:
);1,2();2,1();1,2(
321
−−MMM )2,1(
4
−−M .

Страницы