Высшая математика. Пучков Н.П. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Условия теоремы 3.1 не являются достаточными условиями су-ществования экстремума. Например, для функции
x
y
z
= частные
производные
xzyz
yx
=
′
=
′
,
равны нулю в точке (0, 0). Однако yxxyyxyxyyxxz
∆
∆
+
∆+∆=
−
∆
+
∆
+
=
∆
000000
))(( . В точке
(0, 0)
yxz ∆∆=∆ . Если x∆ и y∆ имеют одинаковые знаки, то 0>
∆
z , если различные, то 0<∆z . Поэтому (0, 0) не может
быть точкой экстремума.
3. Достаточные условия экстремума.
Теорема 3.2. Пусть функция
),( yxf имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрест-
ности стационарной точки
),(
000
yxM . Положим
2
0
"
0
"
0
"
))(()()( MfMfMf
xyyyxx
−=∆ . Тогда:
1) Если
0>∆ , то в точке
0
M функция имеет локальный экстремум, причем при
()
0
0
"
>Mf
xx
– локальный минимум;
при
()
0
0
"
<Mf
xx
– локальный максимум.
2) Если
0<∆ , то в точке
0
M экстремума нет.
3) Если
0=∆ , то требуются дополнительные исследования.
Если обозначить:
()
,
0
"
MfA
xx
=
()
,
0
"
MfB
xy
=
(
)
0
"
MfC
yy
= , тогда
CB
BA
BAC =−=∆
2
.
Исследуем функции, рассмотренные в примерах 3.1 – 3.3.
1.
)0,0(,
22
yxz += – стационарная точка.
: 2,2;0;2,2
"'""'
=====
yyyxyxxx
zyzzzxz .
04022
2
>=−⋅=∆ в любой точке, как и в (0, 0). Так как 0>
∆
, то экстремум есть; 02
"
>=
xx
z . Следовательно
)0,0(
0
M – точка минимума.
2.
;)2()1(1
22
+−−−= yxz стационарная точка (1, –2);
2);2(2;0,0);1(2
"'""'
−=+⋅−===−⋅−=
yyyxyxxx
zyzzzxz .
;040)2()2(
2
>=−−⋅−=∆ ,0
"
<
xx
z )2,1( − – точка максимума.
3.
yxxyxz 12153
23
−−+= , стационарные точки )1,2(
1
M , )2,1(
2
M , )1,2(
3
−
−
M , )2,1(
4
−−M .
yzxzyxz
xyxxx
6;6;1533
""22'
==−+= ;
xzxyz
xyy
6;126
"'
=−= .
• В точке )1,2(
1
M : 010836144,12;6;12 >
=
−
=∆=
=
= CBA . Так как
,0>A
то )1,2(
1
M – точка минимума.
• В точке )2,1(
2
M : 014436,6;12;6
<
−
=∆=== CBA , экстремума нет.
• В точке )1,2(
3
−−M :
0108,12;6;12 >
=
∆
−=−=−= CBA
, так как 0
<
A , то )1,2(
3
−
−
M – точка максимума.
• В точке )2,1(
4
−−M : 0108,6;12;6
<
−
=
∆
−=−=−= CBA , экстремума нет.
4. Задача на условный экстремум функции двух переменных: найти экстремум функции
),( yxfz = при условии
0),( =ϕ yx . Условие 0),( =ϕ yx называют уравнением связи, так как оно связывает значения переменных
x
и y . Если бы
x
и
y не были связаны, то задача решалась бы путем исследования стационарных точек функции ),( yxf . В данном случае
точкам условного экстремума функции
),( yxf соответствуют стационарные точки другой функции.
Теорема 3.3. (необходимое условие условного экстремума). Пусть функции ),( yxf и ),( yxϕ определены и имеют
непрерывные частные производные в окрестности точки
),(
000
yxP . Тогда, если
0
P – точка условного экстремума функции
),( yxf при условии 0),( =ϕ yx , то найдется число
λ
для которой
0
P – стационарная точка функции
),(),(),,( yxyxfyxL
λ
ϕ
+
=
λ
.
Функция
L называется функцией Лагранжа, число
λ
– множителем Лагранжа.
Таким образом, координаты стационарных точек определяются при решении системы уравнений:
=ϕ
=λϕ+=
=λϕ+=
.0),(
;0
;0
'''
'''
yx
fL
fL
yyy
xxx
Имеем

Страницы